小学奥数几何五大模型.pdf

小学奥数小学奥数几何五大模型几何五大模型 一、五大模型简介一、五大模型简介 （1 1）等积变换模型）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比， 如图 1 所示，: ABDACD SSBD CD ； 3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比， 如图 2 所示，: ACDBCD SSAE BF ； 4、在一组平行线之间的等积变形， 如图 3 所示， ACDBCD SS ；反之，如果 ACDBCD SS ，则直线ABCD。 例、如图，例、如图，ABC的面积是的面积是 2424，DEF、 、分别是分别是BCACAD、的中点，求的中点，求 DEF的面积。的面积。 解析：解析：根据等积变换知，根据等积变换知， 11 2412 22 ADCABC SS , , 11 126 22 ADEADC SS ， 11 63 22 DEFADE SS 。 图3图3图2图2图1图1 FE B DC AB CD A DCB A FE DCB A （2 2）鸟头模型）鸟头模型（共角（共角定理）定理） 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。 如下图ABC中，DE、分别是ABAC、上或ABAC、延长线上的点。 则有： ADE ABC SADAE SABAC 。 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 证明：证明：如图，连接BE，根据等积变换模型知， : ADEABE SSAD AB 、: ABECBE SSAE CE ， 所以: ABEABCABEABECBE SSSSSAE AC 。 因此 ADEADEABE ABCABEABC SSSADAEADAE SSSABACABAC 。 例、如图例、如图，在在ABC中，中，点点D在在BA的延长线上，的延长线上，点点E在在AC上，且上，且:AB AD 5:2，:3:2AE EC ，ADE的面积为的面积为 1212 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积。的面积。 E D CB AE D CB A E D CB A E D CB A 解析：解析：根据鸟头模型可知：根据鸟头模型可知： ABC ADE SABAC SADAE ， 所以 55 1250 23 ABCADE ABAC SS ADAE （平方厘米）。 （3 3）蝴蝶模型）蝴蝶模型 1 1、梯形中、梯形中的的比例关系比例关系(“(“梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理”)”): : 24 SS（因为 ABCDBC SS ，所以 ABCOBCDBCOBC SSSS ）， 22 13 :SSab； 22 1234 :SSSSabab ab； 梯形S的对应份数为 2 ab。 例、如图，例、如图，在在梯形梯形ABCD中中，ABCD，对角线，对角线ACBD、交于点交于点O，已知，已知 AOBBOC、的面积分别为的面积分别为 2525 平方厘米、平方厘米、3535 平方厘米，求梯形平方厘米，求梯形ABCD的面的面 积。积。 解析：由梯形蝴蝶模型的性质知，解析：由梯形蝴蝶模型的性质知， 2 :25:35 AOBBOC SSABAB CD ， 所以:5:7AB CD；所以 2222 :5 :725:49 AOBDOC SSABCD ， 即49 DOC S 平方厘米，而35 AODBOC SS 平方厘米， 所以梯形ABCD的面积为：25+35+35+49=144 平方厘米。 b a S4 S3 S2 S1 O D CB A 35 25 O D CB A 2、任意四边形中的比例关系任意四边形中的比例关系(“(“蝴蝶定理蝴蝶定理”)”)： 1243 :SSSS或者 1324 SSSS； 12 34 SSAO COSS ， 23 14 SSBO DOSS 。 例、如图，四边形例、如图，四边形ABCD的对角线的对角线ACBD、交于点交于点O，如果，如果ABD的面积等于的面积等于 BCD面积的面积的 1 3 ，且，且2AO，3DO，求，求CO的长度是的长度是DO长度的几倍。长度的几倍。 解析：由任意四边形蝴蝶定理的性质知，解析：由任意四边形蝴蝶定理的性质知，:1:3 ABDBCD AO COSS ，所以 33 26COAO ，所以:6:32:1CO DO，即CO是DO的 2 倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模 型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一 方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 （4 4）相似模型）相似模型 1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两 边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 S4 S3 S2 S1 O CB D A O CB D A 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有 DEBC。 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 结论：因为DEBC，所以ADEABC，则 ADAEDE ABACBC ； 22 : ADEABC SSADAB 。 例、如图，已知在平行四边形例、如图，已知在平行四边形ABCD中，中，16AB、10AD、4BE ，那么，那么 FC的长度是多少？的长度是多少？ 解析：解析：根据平行四边形的根据平行四边形的性质知，性质知，ABCD，所以由沙漏模型沙漏模型知： :16:44:1FC FBCD BE，所以 44 108 4 15 FCBC 。 （5 5）燕尾模型）燕尾模型 由于两种颜色阴影部分的形状合在一起像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这 样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质： : ABOACO SSBD DC ； : ABOBCO SSAE EC ； ED CB AE D CB A F E D C B A O F E D CB A : ACOBCO SSAF FB 。 例、如图，例、如图，D E、分别在分别在BCAC、上，且上，且:2:3AE EC ，:1:2BD DC ，AD与与 BE交于点交于点F，四边形，四边形DFEC的面积等于的面积等于 2222 平方厘米，求三角形平方厘米，求三角形ABC的面积。的面积。 解析解析：如图所示，连接CF构造燕尾模型。根据燕尾模型根据燕尾模型性质可知性质可知： 1 2 ABF ACF SBD SDC ， 2 3 ABF CBF SAE SEC 。 现设1 BDF S 份，则2 CDF S 份、4 ACF S 份、 2 41.6 23 AEF S 份、 3 42.4 23 CEF S 份。 所以22.44.4 DFEC S 四边形 份、2349 ABC S 份。 224.4 945 ABC S （平方厘米）。 二、五大模型经典例题详解二、五大模型经典例题详解 （1 1）等积变换模型）等积变换模型 例例 1 1、图中的、图中的EFG、 、分别是正方形分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的三条边的三等分点，如果正方形的 边长是边长是 1212，那么阴影部分的面积是多少？，那么阴影部分的面积是多少？ F F E E D D C C B B A A 2 1.6 2.4 21 F F E E D D C C B B A A G F E D C B A 6 5 4 3 2 1 G F E D C B A 解析：解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的 3 条边ABBCCD、就被分成 了相等的三段。把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形 分割成了 9 个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的 6 个三角形按顺 时针标记 16。这 9 个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被 分割成了其中的 3 个三角形。 根据等积变换模型根据等积变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第 1、2 个三角形相 等；BC边上的阴影三角形与第 3、4 个三角形相等；AB边上的阴影三角形与 第 5、6 个三角形相等。因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积 的三分之一，即：12123=48。 例例 2 2、如图所示，、如图所示，QEPM、 、 、分别为直角梯形分别为直角梯形ABCD两边两边ABCD、上的点，上的点， 且且DQCPME、彼此平行，已知彼此平行，已知5753ADBCAEEB、，求阴影部求阴影部 分三角形分三角形PQM的面积。的面积。 解析：解析：如图所示，连接CEDE、， 由于DQME、平行，根据同底等高知， QMEDME SS ； 同理根据BCME、平行，有 PMECME SS ；所以 PQMCDE SS 。 由于四边形ABCD为直角梯形， 所以 111 57535 53 725 222 CDEADEBCEABCD SSSS 梯形 ， 即阴影三角形PQM的面积为 25。 （2 2）鸟头（共角）定理模型）鸟头（共角）定理模型 例例 1 1、如图所示，平行四边形、如图所示，平行四边形ABCD，BEAB、2CFCB、3GDDC、 4HAAD，平行四边形，平行四边形ABCD的面积为的面积为 2 2，求平行四边形，求平行四边形ABCD与四边形与四边形 EFGH的面积比。的面积比。 P Q M E D CB A A BC D E M Q P 解析：解析：如图所示，连接ACBD、，由于在ABCEBF、中，ABC与EBF 互补，根据鸟头定理鸟头定理有 1 11 1 33 ABC EBF SAB BC SBE BF ； 因为 1 1 2 ABCABCD SS 平行四边形 ，所以3 EBF S ； 同理可得：4 28 AEH S 、4 28 GCF S 、5 315 DHG S 。 所以 221 8 8 15323618 ABCD EBF S S 平行四边形 四边形 。 例例 2 2、如图所示、如图所示，ABC的面积为的面积为 1 1，54BCBDACECDGGSSE、 AFFG，求，求FGS的面积。的面积。 解析：解析：首先根据等积变换模型等积变换模型知， FGSFESEAFEGF SSSS 、， 所以4 AGEFGS SS 。 根据鸟头模型鸟头模型有 3 2 2 1 3 AGE CDE SAE GE SCE DE ，所以2 CDEFGS SS ； 2 1 2 1 1 AGD FGS SAG DG SFG SG ，所以2 AGDFGS SS ；所以8 ACDFGS SS ； C H F E D G B A C H F E D G B A S G F E DC B A 1 11 1 44 ADB ACD SAD BD SAD DC ，所以2 ADBFGS SS ；所以10 ABCFGS SS ， 即 1 10 FGS S 。 （3 3）蝴蝶模型）蝴蝶模型 例例 1 1、如图，正六边形面积为、如图，正六边形面积为 1 1，那么阴影部分面积为多少？，那么阴影部分面积为多少？ 解析：解析：如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半。设 AOB S的面积为 1 份，根据正六边形的特殊性质知，2BCAD，再根据梯形蝴梯形蝴 蝶定理蝶定理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了 18 份，阴影部 分占其中的 8 份，即阴影部分面积为 84 1 189 。 例例 2 2、如图，长方形、如图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 3 块的面积分别为块的面积分别为 2 2、5 5、8 8 平方厘米，求余下的四边形平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。的面积。 解析：解析：如图所示，连接DECF、。在梯形EDCF中，根据梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理知， EODFOC SS ，2 816 EODFOCEOFDOC SSSS ， 即4 EODFOC SS ，所以8412 ECD S ，12 224 ABCD S 长方形 ， 2452 89 OFBC S 四边形 。 1 2 2 4 4 2 2 1 O DC BA 2 ？ 8 5 O FE DC BA 2 ？ 8 5 O FE DC BA 例例 3 3、如图，已知正方形、如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为 1010 厘米，厘米，E为为AD的中点，的中点，F为为CE 的中点，的中点，G为为BF的中点，求三角形的中点，求三角形BDG的面积。的面积。 解析：解析：设BD与CE的交点为O，连接BEDF、。在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶梯形蝴蝶 定理定理知，: BEDBCD EO COSS ，而 11 42 BEDBCDABCDABCD SSSS 正方形正方形 、， 所以:1:2EO CO。又因为F为CE的中点，所以:2:1EO FO。 在四边形BFDE中，由蝴蝶定理蝴蝶定理知，:2:1 BEDBFD EO FOSS ， 所以 11 48 BFDBEDABCD SSS 正方形 。 所以 111 10 106.25 21616 BDGBFDABCD SSS 正方形 （平方厘米）。 （4 4）相似模型）相似模型 例例 1 1、如图，正方形的面积为、如图，正方形的面积为 1 1，EF、分别为分别为ABBD、的中点，的中点， 1 3 GCFC, ,求求 阴影部分的面积。阴影部分的面积。 解析：解析：如图所示，作FH垂直BC于点H，GI垂直BC于点I，根据金字塔模金字塔模 型型知，:1:3CI CHCG CF；因为F是BD的中点，所以CHBH， :1:6CI CB ，即:6 1 :65:6BI BC ，所以 1155 22624 BEG S 。 G F ED CB A G O F E D CB A G F E D CB A I G H F E D CB A 例例 2 2、如图，长方形、如图，长方形ABCD，E为为AD的中点，的中点，AF与与BDBE、分别交于分别交于G和和 H，OE垂直于垂直于AD，交，交AD于于E点，交点，交AF于于O点，已知点，已知5AH , ,3HF , ,求求 AG的长。的长。 解析：解析：根据长方形的性质知，ABDF， 再根据沙漏模型沙漏模型知:5:3AB DFAH HF， 又因为E为AD的中点，所以:1:2OE FD，所以 3 :5:10:3 2 AB OE 。 利用相似三角形性质相似三角形性质可得：:10:3AG DOAB OE， 11 =534 22 AOAF， 1040 4 1313 AG 。 （5 5）燕尾模型）燕尾模型 例例 1 1、如图，正方形、如图，正方形ABCD的面积是的面积是 120120 平方厘米，平方厘米，E是是AB的中点，的中点，F是是BC 的中点，求四边形的中点，求四边形BGHF的面积。的面积。 解析：解析：如图，连接BH。由于BE与CD平行， 根据沙漏模型沙漏模型知，:1:2BG GDBE CD。 现设1 BHC S 份，根据燕尾模型燕尾模型知，2 DHC S 份，2 BHD S 份。 因此整个正方形ABCD就是：（1+2+2）2=10（份）。 四边形BGHF占： 117 12 236 （份）。 所以 7 120 1014 6 BGHF S 四边形 （平方厘米）。 O G H F E D CB A BC D E F G H A BC D E F G H A 例例 2 2、如图，在、如图，在ABC中，中，2BDDA、2CEEB、2AFFC，那么，那么ABC 的面积是阴影的面积是阴影GHI面积的几倍？面积的几倍？ 解析：解析：连接AI，根据燕尾模型燕尾模型知，:1:2 BCIABI SSFC AF ， :2:1 BCIACI SSBD DA ，所以:1:2:4 ACIBCIABI SSS ，那么 22 1 247 BCIABCABC SSS 。同理可知 2 7 ACGABC SS 、 2 7 ABHABC SS 。 所以 21 13 77 ABCABCGHI SSS 阴影 ，即ABC的面积是阴影GHI面积 的 7 倍。 例例 3 3、如图，在、如图，在ABC中，点中，点D是是AC的中点，点的中点，点EF、是是BC的三等分点，若的三等分点，若 ABC的面积是的面积是 1 1，求四边形，求四边形CDMF的面积。的面积。 解析：解析：如图，连接CMCN、。根据燕尾模型燕尾模型知，:2:1 ABMACM SSBF CF , 而2 ACMADM SS ，所以24 ABMACMADM SSS ，即4BMDM。 所以根据鸟头模型鸟头模型知， 4 28 5 315 BMF BCD SBMBF SBDBC ， 即 8814 1515215 BMFBCD SS 。所以 147 21530 BCDBMFCDMF SSS 四边形 。 IH G F E D CB A IH G F E D CB A M N FE D CB A M N FE D CB A 三、巩固练习三、巩固练习 1 1、如图，在、如图，在MON的两边上分别有的两边上分别有A CE、 、，BDF、 、六个点六个点，并并 OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面积都等于的面积都等于 1 1，求，求DCF的面的面 积。积。 2 2、如下图，、如下图，ABCD为平行四边形，为平行四边形，EF平行平行AC，如果，如果ADE的面积为的面积为 4 4 平方平方 厘米，求三角形厘米，求三角形CDF的面积。的面积。 3 3、如下图，在三角形、如下图，在三角形ABC中中，2BDAD，2AGCG，BEEFFC，求四求四 边形边形DGFE的面积占三角形的面积占三角形ABC的几分之几的几分之几？ O M N F E D C B A F E D C B A G FE D CB A 4 4、如图，四边形、如图，四边形EFGH的面积是的面积是 6666 平方米，平方米，EAAB、CBBF、 DCCG、HDDA，求四边形，求四边形ABCD的面积。的面积。 5 5、边长为、边长为 1 1 的正方形的正方形ABCD中，中，2BEEC、FCDF，求三角形，求三角形AGE的面的面 积。积。 6 6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积的面积 为为 1111，三角形，三角形BCH的面积为的面积为 2323，求四边形，求四边形EGFH的面积。的面积。 H A D B E F CG AD B E F C G H D A E B C G F 7 7、如图，三角形、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，是一块锐角三角形余料，120BC 毫米，高毫米，高80AD毫毫 米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个上，其余两个 顶点分别在顶点分别在ABAC、上，这个正方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？ 8 8、如图，已知正方形、如图，已知正方形ABCD的面积为的面积为 120120 平方厘米，平方厘米，E是是AB边的中点，边的中点，F是是 BC边的中点，求四边形边的中点，求四边形BGHF的面积。的面积。 9 9、如图，正方形、如图，正方形ABCD的边长是的边长是 1212 厘米，厘米，EF、分别是分别是ABBC、的中点，的中点，AF 与与CE交于点交于点G，求四边形，求四边形AGCD的面积。的面积。 N A D B H P C G H AD B E FC G A D BE F C G 1010、如图，在四边形、如图，在四边形ABCD中，中，3ABBE、3ADAF，四边形，四边形AEOF的面积的面积 是是 1212，求平行四边形，求平行四边形BODC的面积。的面积。 四四、巩固练习、巩固练习详解详解 1 1、如图，在、如图，在MON的两边上分别有的两边上分别有A CE、 、，BDF、 、六个点六个点，并且并且 OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面积都等于的面积都等于 1 1，求，求DCF的面的面 积。积。 解析：解析：这道题我们可以用等积变换来解，由于三角形OCD的面积是可以求出 的，所以只要求出:OD OF就能求出DCF的面积。 因为:4:1 OEDDEF OD OFSS ，所以 113 3 444 DCFOCD SS 。 2 2、如下图，、如下图，ABCD为平行四边形，为平行四边形，EF平行平行AC，如果，如果ADE的面积为的面积为 4 4 平方平方 厘米，求三角形厘米，求三角形CDF的面积。的面积。 O A D C B E F O M N F E D C B A F E D C B A F E D C B A 解析：解析：如图所示，连接AFCE、，因为平行四边形对边平行，所以根据同底等 高知， ADEACE SS 、 CDFACF SS 。同理，根据EFAC，所以 ACEACF SS 。所以4 CDFADE SS 平方厘米。 3 3、如下图，在三角形、如下图，在三角形ABC中中，2BDAD，2AGCG，BEEFFC，求四求四 边形边形DGFE的面积占三角形的面积占三角形ABC的几分之几的几分之几？ 解析：解析：根据鸟头模型的性质有： 122 339 ADGABCABCABC ADAG SSSS ABAC ， 同理： 2 9 BDEABC SS ， 1 9 CGFABC SS ， 所以 2214 1 9999 ABCABCDGFE SSS 四边形 。 4 4、如图，四边形、如图，四边形EFGH的面积是的面积是 6666 平方米，平方米，EAAB、CBBF、 DCCG、HDDA，求四边形，求四边形ABCD的面积。的面积。 解析：解析：如图连接BD，由鸟头模型知 1 11 1 22 BCD FCG SCD BC SCG CF ，即 2 FCGBCD SS ；同理可得2 AHEABD SS ；所以2 FCGAHEABCD SSS 四边形 。 连接AC同理可得，2 BEFDHGABCD SSS 四边形 ；所以5 EFGHABCD SS 四边形四边形 ， G FE D CB A H A D B E F CG H A D B E F CG 即66 513.2 ABCD S 四边形 （平方米）。 5 5、边长为、边长为 1 1 的正方形的正方形ABCD中，中，2BEEC、FCDF，求三角形，求三角形AGE的面的面 积。积。 解析解析：连接EF，2BEEC、FCDF， 1111 23212 DEFABCDABCD SSS 正方形正方形 ， 1 2 ADEABCD SS 正方形 ， 由蝴蝶定理可得： 11 :6:1 2 12 AG GF ， 6613 6 77414 AGDGDFADFABCDABCD SSSSS 正方形正方形 ， 1322 21477 AGEADEAGDABCDABCDABCD SSSSSS 正方形正方形正方形 。 6 6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积的面积 为为 1111，三角形，三角形BCH的面积为的面积为 2323，求四边形，求四边形EGFH的面积。的面积。 解析：解析：连接EF，显然四边形ADEF和BCEF都是梯形，于是根据蝴蝶定理 得： EFGADG SS ， EFHBCH SS ，所以11 2334 EGFH S 四边形 。 AD B E F C G AD B E F C G H D A E B C G F H D A E B C G F 7 7、如图，三角形、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，是一块锐角三角形余料，120BC 毫米，高毫米，高80AD毫毫 米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个上，其余两个 顶点分别在顶点分别在ABAC、上，这个正方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？ 解析：解析：仔细观察我们会发现，图中有五个金字塔模型，我们利用与已知边有关 系的两个金字塔模型，知： PNAP BCAB 、 PHBP ADAB 。现设正方形的边长为x毫 米，根据题意列方程：1 P