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第十章 微分方程习题课（二）,高阶微分方程,一、可降阶的高阶微分方程,1高阶微分方程的定义,2可降阶的高阶微分方程类型,(1),(2),(3),3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图,可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示。,解题方法流程图,逐次积分,解一阶微分方程,解一阶微分方程,Yes,No,4. 典型例题,【例1】求方程 的通解。,解：由于不显含 ，令 ，则,代入原方程整理得,即,因此,再积分一次，即得原方程的通解为：,此解可以写成,代入原方程整理得,即,为一阶线性微分方程,利用公式得,即,积分得,代入原方程整理得,分离变量得：,【例3】求方程,满足初始条件,的特解。,积分得：,所以,即,，从而,分离变量得：,所求方程的特解为：,二、二阶常系数线性微分方程,1定义,(1)二阶常系数线性齐次微分方程：,(2)二阶常系数线性非齐次微分方程:,2解的结构性质,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,解,4、典型例题,分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出,对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。,，特征方程为,对应齐次方程为：,对应齐次方程通解为：,所求的方程为：,通解为：,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例6,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例7,解,
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