《微扰理论》PPT课件.ppt

,Chapter 5. Perturbation Theory,1,Chapter 5 微 扰 理 论,Perturbation Theory,Chapter 5. Perturbation Theory,2,引言,前面讨论了量子力学的基本理论，并应用薛定格方程求得了一些简单问题的解。,在实际微观体系中，由于哈密顿算符的复杂性，能求出薛定格方程精确解的问题是极少的。例如一个氦原子体系就难以得到精确解。因此，在量子力学中，用近似方法求薛定格方程近似解就显得尤为重要。,Chapter 5. Perturbation Theory,3,讲授内容,5.1 非简并定态微扰理论 Non degenerate perturbation theory of stationery state 5.2 简并情况下的微扰理论 Degenerate perturbation theory 5.3 氢原子的一级斯塔克效应 First order Stark effect of hydrogen atom 5.4 变分法 Variational Method 5.5 氦原子基态 Ground State to Helium Atom 5.6 与时间有关的微扰理论 Perturbation theory with time 5.7 跃迁几率 Transition Probability 5.8光的发射和吸收 Light emission and absorption 5.9选择定则 Selection rule,Chapter 5. Perturbation Theory,4,学习要求：,5. 了解氢原子一级斯塔克效应及其解释。,3. 了解定态微扰论的适用范围和条件；,1.重点掌握非简并定态微扰理论波函数一级修正和能级一、 二级修正的计算。,2.掌握简并的微扰论的零级波函数和一级能量修正的计算。,4. 关于与时间有关的微扰论要求如下：,Chapter 5. Perturbation Theory,5,5.1 非简并定态微扰理论,量子力学中微扰方法又视其哈密顿算符是否与时间有关分为定态微扰和非定态微扰两大类。,Chapter 5. Perturbation Theory,6,一、基本方程,设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定格方程为,(1),当 比较复杂，方程(1)难求解时，将 写成：,(3),其中 是基本部分，与它对应的本征值和本征函数由以下方程求出,而 相对很小，可视为加在 上的微扰。现在的任务是通过 和 ，求出相应的修正项以得到 和 的近似解，为此，引入一个很小的实数 ，并将 表示为,(2),(4),相应地,将 和 表为实参数 的级数形式：,(5),5.1 非简并定态微扰理论（续1）,Chapter 5. Perturbation Theory,7,(6),将以上几式代入（1）式得：,将此式展开，便得到一个两边均为 的幂级数等式，此等式成立的条件是两边 同次幂的系数应相等，于是得到一列方程：,(7),5.1 非简并定态微扰理论（续2）,Chapter 5. Perturbation Theory,8,由这组方程逐级求得其各级修正项，即求得能量和波函数的近似解. 的引入只是为了从方程(7) 按数量级分出(8)、(9) (11)等方程，达到此目的后，便可省去 。方程(5)和(6)便写成,5.1 非简并定态微扰理论（续3）,(14),Chapter 5. Perturbation Theory,9,二、一级修正,当 非简并时， 属于 的本征函数只有一个，它就是波函数的零级近似 。（设 已归一化）。,5.1 非简并定态微扰理论（续4）,为求 ，以 左乘（9）式两边，并对空间积分：,（15）,Chapter 5. Perturbation Theory,10,代入（9）式得,5.1 非简并定态微扰理论（续5）,以 左乘，并积分，得到：,Chapter 5. Perturbation Theory,11,代入（16）式，得波函数的一级修正,（20）,作展开：,5.1 非简并定态微扰理论（续6）,三、高级修正（能量的二级修正）,（19）,将 和 代入（10）式，得到：,以 左乘（10）式，并积分，得到：,（22）,Chapter 5. Perturbation Theory,12,能量的二级近似,波函数的一级近似,波函数的二级修正,5.1 非简并定态微扰理论（续7）,Chapter 5. Perturbation Theory,13,用 乘以（）式，再积分,5.1 非简并定态微扰理论（续8）,Chapter 5. Perturbation Theory,14,5.1 非简并定态微扰理论（续9）,不能判别级数是否收敛，因不知级数的一般项,故要求后项远小于前项，即,四、微扰理论适用的条件,Chapter 5. Perturbation Theory,15,微扰适用条件表明：,（1）微扰矩阵元 要小；,（2） 要大，即能级间距要宽。,例如：在库仑场中，体系能量（能级） 与量子数 成反比。可见，当 大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（ 大）的修正，而只适用于计算低能级（ 小）的修正。,5.1 非简并定态微扰理论（续10）,Chapter 5. Perturbation Theory,16,（2）展开系数 表明第 个未扰动态 对 第 个扰动态矢 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态 贡献的也越强。因此波函数一阶修正无须计算无限多项。,（3）由 可知，扰动后体系能量是由扰动前第 态能量 加上微扰哈密顿量 在未微扰态 中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。,五讨论,（1）在一阶近似下：,5.1 非简并定态微扰理论（续11）,Chapter 5. Perturbation Theory,17,哈密顿量,本征函数,设一维谐振子受到 的微扰（ 为实参数，且 ), 用微扰法求能量和波函数的一级修正。,5.1 非简并定态微扰理论（续12）,六实例,Solve:,能量一级修正,由厄米多项式递推关系可导出波函数 的递推关系，即,由波函数的递推关系得到,Chapter 5. Perturbation Theory,18,于是,波函数的一级修正：,5.1 非简并定态微扰理论（续13）,Chapter 5. Perturbation Theory,19,5.1 非简并定态微扰理论（续14）,讨论：实事上本题可精确求解,这是一个标准的一维线性谐振子的能量算符,本征函数,Chapter 5. Perturbation Theory,20,5.1 非简并定态微扰理论（续15）,本征能量,因,故,有微扰时，能量的一级修正,无微扰谐振子能量,Chapter 5. Perturbation Theory,21,若 为 度简并，则有 个本征函数 满足方程,且正交归一,根据迭加原理，这 个本征函数的任意线性组合仍是 属于 本征值的本征函数.因而,可由这 个本征函数线性组合构成零级近似波函数：,（）,5.2 简并情况下的微扰理论,将（）代入微扰理论的基本方程：,问题是零级近似波函数如何取？,Chapter 5. Perturbation Theory,22,左乘后，再积分,得到：,（3）,（）,5.2 简并情况下的微扰理论（续1）,Chapter 5. Perturbation Theory,23,方程组(3)有非零解的条件是系数行列式等于零,即,（）,由(2)式分别求出 ，代入久期方程（5）式，可求得 的 根 ，此即为能量的一级修正。,5.2 简并情况下的微扰理论（续2）,能级分裂,Chapter 5. Perturbation Theory,24,(1). 若 的 个根 都不相等，则一级微扰将简并度完全消除；如果要求二级修正，再应用非简并微扰方法进行。,(2). 若 的 个根部分相等，则简并度部分解除，这时须再次利用简并微扰法考虑能量二级修正才有可能进一步解除简并，依次进行下去，直到简并度完全消除。,().若 的 个根完全相等，则一级微扰不能消除简并，必须继续利用简并微扰法考虑高阶修正。,求零级近似波函数,讨论,将能量一级修正 的 个根分别代回方程（4）,5.2 简并情况下的微扰理论（续3）,Chapter 5. Perturbation Theory,25,(7),即,由此分别求得 组 的值，即可求得零级近似波函数,而这组 中，至少有一个要用归一化条件求得,(8),5.2 简并情况下的微扰理论（续4）,Chapter 5. Perturbation Theory,26,在没有外场作用的情况下，氢原子中的电子受原子核球对称库仑场的作用，其哈米顿算符、能级和本征函数为：,这里能级由主量子数 决定，与 和 无关，第 个能级 是 度简并的。,1913年德国物理学家斯塔克发现，处于外电场中的原子，其光谱发生分裂。不难理解：谱线分裂是由于能级分裂引起，而能级的分裂是由于系统的某种对称性受到破坏的结果。,5.3 氢原子的一级斯塔克效应,Chapter 5. Perturbation Theory,27,设外电场 是均匀的，方向沿 轴。由于一般外场强度在 伏/米，而原子内的场强约为 伏/米，故外电场可视为微扰，则:,当 时， （波尔半径 ）,对应四个状态：,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续1）,Chapter 5. Perturbation Theory,28,将零级近似波函数 作展开,（5.3-4）,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续2）,Chapter 5. Perturbation Theory,29,由 算得的不为零的矩阵元,其余矩阵元均为零。,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续3）,Chapter 5. Perturbation Theory,30,将以上矩阵元代入代数方程组,并写成矩阵形式：,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续4）,有久期方程:,（）,Chapter 5. Perturbation Theory,31,得到四个根：,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续5）,能级一级近似,能级分裂导致谱线分裂,Chapter 5. Perturbation Theory,32,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续6）,再将 的四个根分别代入上（）式：,（1）当 时，有：,则与能级 对应的零级近似波函数为,（2）当时 ，有,则与能级 对应的零级近似波函数为：,Chapter 5. Perturbation Theory,33,则与能级 对应的零级近似波函数为：,（3）当时 ，有,而 和 不同时为零,说明,1正交归一化条件,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续7）,Chapter 5. Perturbation Theory,34,相当于一电偶极矩位于电场中,2氢原子电偶极矩特性,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续8）,Chapter 5. Perturbation Theory,35,3氢原子中电子几率角分布图象绕z轴旋转,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续9）,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值，总是不小于体系的基态能量，只有当 恰是体系的基态本征函数 时， 的平均值才等于基态能量,体系能量的平均值为,Chapter 5. Perturbation Theory,36,从纯数学角度，变分法是一种求泛函极值的方法。在经典力学中用于求作用量的极值，在光学中用于求光程极值。这里我们将用于求微观体系能量的极值 基态能量。,设 是归一化波函数，按体系能量算符的本征函数系展开,5.4 变分法,首先证明：用描写体系状态的任意波函数 所算出的能量算符 的平均值