线性方程组2.n维向量.ppt

1,第二节：n 维向量 .,当线性方程组有无穷多解时 ，这些解之间的关系如何 ？以及如何表示这些解 ？是我们关心的问题 ，在这一节我们将引入 n 维向量的概念 ，并研究向量间的线性关系以解决这一问题 。,本节主要讨论以下两个问题 ： 1 . n 维向量空间的定义 。 2 . n 维向量间的线性关系 ， 主要有线性表示，线性相关 ，线性无关 ， 以及它们之间的关系 。,2,向量一般用小写希腊字母 表示 。,一 . n 维向量及其线性关系 。,n 维向量 。,3,前者称为 n 维行向量 ,后者称为 n 维列向量 。 向量是数学中的一个极为重要的概念 , 在数学的各分支及其它学科中 ，向量的概念及有关性质都有广泛的应用 。,n 维向量是平面(空间)解析几何中，2 (3) 维几何向量的推广，只不过当 n 3 时，它没有几何上的直观意义，只是沿用几何上的术语而已。,例如，导弹在空中飞行时的每一个壮态均可看成一个七维向量，,其中m 表示导弹的质量 ，,4,例 1 . 线性方程组,的一组解,也可以记为 c1 c2 cn 并且称 是线性方程组 的一个解向量 ，简称 是线性方程组 的一个解 。,5,向量运算 : 1. 加法 ：,6,由向量的加法与负向量的定义，还可以定义 向量的减法运算，,2. 数乘：(数与向量的乘法),向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算 , 由定义不难证明向量的线性运算适合下述 八条运算性质,7,加法适合的 4 条运算性质 ：,数乘适合的 4 条运算性质 ：,8,定理：对数 k 与向量 ，则 k =0 的充分必要条件是 k =0 或 =0 。,(请你自己给出证明),9,1. 线性表示 。,例 3 . 零向量可由任意向量组线性表示 ， 只要取组合系数全部为零即可 。,二.向量间的线性关系,10,例4：m 个方程 n 个未知量的线性方程组,11,的系数矩阵 A 的第 j 列与 的常数项均可由m 维的向量来表示 ，( 也可取増广矩阵的第 j 列 ),提示：方程个数=向量维数 ， 未知量个数= A 中列向量的向量个数 。,12,称 为线性方程组 的向量表示。,因此我们有,定理 ：(书上P70,P57） 向量 可以用向量组 1 2 n 线性表示 的充分必要条件是线性方程组 有解 。 (解向量的分量即为线性表示的组合系数),13,例6 ：设向量组,( 向量相等即向量的对应分量相等 ),14,(理由同前),这是一个矛盾方程组 ，无解 。,向量 可以由 1 2 3 ，线性表示，而不能由 1 ，2 线性表示 ，这与向量组 ，1 ，2 和向量组 ，1 2 3 本身的属性有关 。,15,因此，我们引入下面的概念 ：(第二个线性关系),2. 向量组的线性相关(无关)。,定义：设向量组,线性无关。 (本定义要求知道向量的分量),16,由于齐次线性方程组要么只有零解 ，要么必有非零解 ，两者必有一个成立 。所以，一个向量组要么线性无关 ，要么线性相关 ， 两者必有一个成立 。,向量组线性无关，线性相关的几何意义 见书上 P73,P59 请自看 ！,例1 . 判断向量组 1= (1，0，-1，2) ， 2= (-1，-1，2，-4) ， 3 = 2，3，-5，10 是否线性相关 。,解 ：设有数 k1 ，k2 ，k3 使得 k11+k22+ k33= 0 ，代入向量的分量 可得关于未知量 k1 ，k2 ，k3 的齐次线性方程组,17,对齐次线性方程组 应用矩阵消元法 ，,非零行数 r = 2 , 未知量个数 = 3,18,由阶梯形矩阵 可知齐次线性方程组 有非零解，即向量组 线性相关。,解 ： 设 k11+ k22+ + knn= 0 ， 即 1 2 n 所以 ki=0 ，i =1 ，2 . n 。 即 1， 2 . n 线性无关 。,由向量组线性相关 (无关)的定义，不难得到 ：,定理：n+s (s0 的整数)个 n 维向量必线性相关。,19,证明：这是因为相应的齐次线性方程组中 方程个数未知量个数， 固齐次线性方程组必有非零解 , 从而向量组 必线性相关 。,方程个数=向量维数 , 未知量个数=向量个数,线性相关 的充分必 要条件是,20,线性无关的 条件是？,证明：因为相应的齐次线性方程组中 ， 方程个数 = 未知量个数 = n ，此时 , 齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件 是系数行列式 D = 0 ，从而向量组线性相关的充分必要条件是 行列式 D = 0 。,* 使用本定理时要注意定理的前提 。 ( 向量的个数 = 向量的维数 ) * 本定理的条件也可改为 DT= 0 .,21,回忆向量组线性相关的定义 ， 向量组 是否 线性相关的充分必要 条件是齐次线性方程组 是否有非零解 。,也就是说是否有不全为零的数 k1，k1 .ks 使得向量等式 k11+k22+ . +kss=0 成立。,因此我们可以给出下面的向量组线性相关的定义。(抽象定义),22,* 定义隐含了只要向量组 1 ，2 s 线性相 关 ，就一定存在不全为的数 k1 ，k2 ks 使得 向量等式 k1 1 +k2 2 + +ks s = 0 成立,(或者，由 出发，能推 导出 不全为零，则有向量组 线性相关 。),请问：向量组线性无关的抽象定义如何叙述 。,例3. 已知向量组 线性无关，证明 向量组 线性无关。 证明：设,23,求解齐次线性方程组 ，得 只有零解， 即 所以向量组,24,求解齐次线性方程组 ,得 有非零解,即存在 不全为零的数 1 ，2 ，3 ，4 使 式成立 ，,25,所以向量组 线性相关。,思考题 ： 已知向量组 线性无关 ， 1 . n 为偶数时，判断向量组 ， 是否线性相关 。,2 . 向量组 线性无关(相关)的充分必要条件是 ？,例5 . 含有零向量的向量组线性相关 。,26,例6 . 单个非零的 n 维向量线性无关 。,例7. 如果一个向量组的部分向量线性相关 ，则这个 向量组也线性相关 。,27,由本例还可以得到 ：,如果一个向量组线性无关 ，则它的任何一个 部分组也线性无关 。,28,想一想，这是为什么？你能否自己给出证明 。,在证明向量组线性相关(无关)时 ，反证法也是常用方法之一 。,定理：向量组 (s2)线性相关 的充分必要条件是其中至少有一个向量 可以由其余 s-1 个向量线性表示 。 证明：必要性，,29,即 可由其余的向量 线性表示 。,充分性 ，,30,且有： 成立。 所以向量组 线性相关 。,推论：向量组 (s2)线性无关的充分 必要条件是其中任意一个向量均不能由其余 s-1个向量线性表示 。,* 定理与推论给出了线性相关(无关) 和线性表示之间的关系 ，线性无关的向量组中的向量之间是相互独立 的 ；而线性相关的向量组中的向量之间是相互不独立 的，即是有关系 的。,31,32,33,小结 ：主要掌握以下两点 ：,正确理解并掌握 n 维向量线性表示 ，线性相关与线性无关的定义 (两个) 定理 ，并能灵活应用以及判断向量组的线性表示 ，线性相关与线性无关 - 这是本节的重点 ！以及线性相关与线性表示间的关系 。,2. 希望理解并掌握本节书上与课上讲的所有例子 ，特 别是关于证明向量组线性相关与线性无关的例子及 书上的习题 。,本课程的总成绩 ： = 作业(15)+期中(30)+期末(55) 本课程的答疑时间与地点 ： 地点 ：理科 1号楼 1422 室 。 时间 ：周二 12:30-14:30; 周五 12:30-14:30.,34,1. 一个例子 . 给定线性方程组,将每一个方程的系数(含常数项)看成一个向量 ，则可得 3 个 5 维向量 ，设为 ，,课外阅读,易知 3 1 2 即向量组 1 , 2 , 3 线性相关 ，,35,对线性方程组 来说，第 3 个方程可以由 第 1 个方程加 2 倍的第 2 个方程得到 ， 即 ：第 3 个方程是多余的方程 。,上例说明可以从线性方程组中有没有多余的方程 来理解向量组是线性相关还是线性无关的 。,(若向量组 线性无关 ，则线性方程组 中没有多余的方程 ，即 中的方程是互相独立的 。),2. 你能否下面结论的证明。,36,本结论可作为定理用 ！,* 本定理是书上 P80 ,P65命题1与推论2 的 另一种叙述 ！,3. 关于向量组的线性相关与无关可以从以下几个方 面刻画 ：（书上 P75 76, P61-62）,1). 线性组合 向量组1 2 s 线性相关 它们有组合 系数不全为零的线性组合是零向量 。 向量组1 2 s 线性无关 它们只有 组合系数全为零的线性组合是零向量 。,37,2). 线性表示 向量组1 2 s 线性相关 其中至少有 一个向量可由其余向量线性表示 。 向量组1 2 s 线性无关 其中每一个 向量都不能由其余向量线性表示 。,3). 齐次线性方程组 (知道向量的分量) 向量组1 2 s 线性相关 齐次线性 方程组 k11+ k