随即变量的数字特征-方差.ppt

一、随机变量方差的概念及性质,三、例题讲解,二、重要概率分布的方差,第2.42节 方 差,由第一节我们知道，随机变量的数学期望 可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期 望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们 仍用类似于第一节中的例子来说明。,假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的 环数分别为,容易算得，二人击中环数的平均值都是 8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的 更稳定？,直观的理解，二选手中哪一个击中的环 数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定,一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距 平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应 由偏差的绝对值之和求平均更合适。,对于甲选手，偏差绝对值之和为：,对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为 10.8 环，所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为 0.64 环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平 发挥更稳定些。,类似的，为了避免运算式中出现绝对值 符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。,1. 方差的定义 (定义3.3),一、随机变量方差的概念及性质,方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,2. 方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,3. 随机变量方差的计算,(1) 利用定义计算,证明,(2) 利用公式计算,1. 两点分布,则有,二、重要概率分布的方差,2. 二项分布,则有,设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为,3. 泊松分布,则有,4. 均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,6. 正态分布,则有,证明,三. 方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,解,例1,备份题,解,例2,因此有,2-3.3 变异系数,用方差或标准差描述一个随机变量取值的离散程度,固然满意，但是当比较两个变量取值的离散程度时，,如果两个变量的均数相差悬殊或者取值单位不同时，,这时用方差和标准差就不行了。为此引入一个数字,特征,称为随机变量X的变异系数，记为CVX；,它就是X的标准差与均数的比，即,2-5 三种重要分布的渐近关系,例1 某车间送检一批针剂，其中次品的概率是0.01，问抽检500支针剂，有5支次品的概率是多少?,解：抽检500支针剂中，检出次品的支数为XB(k；500,0.01)，有5支次品的概率为,由于用二项分布公式直接计算难度很大，又n=500，因此可以近似化为泊松分布来计算，即是,例2 对于某一癌症高发病地区进行普查结果，其患癌症的概率是0.005，现有这地区一万人的乡村，试推测： (1) 这个乡有70人患癌症的概率；(2) 有30至50人患癌症的概率；(3) 有不少于50人患癌症的概率。,解 全乡1万人中患癌症人数X服从二项分布。因为n=104,p=0.005,np=1040.005=50，可用正态近似计算。,故有70人患癌症的概率为0.001；有30至50人患癌症的概率为0.4977；全乡不少于50人患癌症的概率为0.5557。,有了二项分布的两个近似计算，可以总结一下二项分布问题中的计算方法的选择： (1) 当n为一个小的数时，可直接应用二项分布公式计算； (2) 当n是一个大的数，而且p值很小或接近于1，np不很大，则应用泊松分布近似计算； (3) 当n是一个大的数，p不是很小或不是接近于1时，可应用正态分布近似计算。,例3 某药厂大批量生产外用药，平均每个月的废品数为35件，试估计该厂： (1) 下个月内出现废品件数为65件的概率； (2) 下个月内出现废品少于40件的概率。,解 此厂出现废品属于伯努利试验之稀