《模块微分方程》PPT课件.ppt

模块四 微分方程,课题一 可分离变量的微分方程 课题二 一阶线形微分方程 课题三 二阶常系数齐次线性微分方程,可分离变量的微分方程,课 题 一,1.理解微分方程的概念;,2.理解微分方程解的概念;,教学目标,3.能够求出可分离变量的微分方程的 通解和特解。,课题提出,关于人口的增长，有一种理论认为：人口的增长率与当时的人口总数成正比我国人口统计的数据显示，1990年我国的人口总数约为11.6亿，且在此后的18年中，人口年平均增长率约为14 , 如果保持这个增长率不变，试确定人口总数与时间的函数关系式R=R（t），并预测到2020年时我国的人口总数。,课题分析,根据导数的本质，“课题”中所谓的人口增长率就是人口总数对于时间的变化率 或,由“课题”中所给的条件“人口的增长率与当时的人口总数成正比”可得方程,且该方程还满足条件,含有未知函数的导数的方程，如何求解呢？,相关知识,一、微分方程的定义, 积分问题, 微分方程问题,推广,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶。,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律。,解 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 ,以及制动后行驶了多少路程。,即求 s = s (t) 。,例 列车在平直路上以, 使方程成为恒等式的函数。,微分方程的解,1.通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。,如,通解,通解,二、微分方程的解, 确定通解中任意常数的条件。,定解条件,2.特解: 确定了通解中任意常数以后的解。,通解:,特解:,是微分方程,的解,的特解 。,解,这说明,是方程的解 。,是两个独立的任意常数,故它是方程的通解。,并求满足初始条件,例 验证函数,是微分方程,的解,的特解。,解,是方程的通解 。,利用初始条件易得:,故所求特解为,并求满足初始条件,例 验证函数,中不含任意常数,故为微分方程的特解。,解:,例,三、可分离变量的微分方程,具有如下形式的一阶微分方程:,称为可分离变量的微分方程。,1.定义,2.可分离变量的微分方程的解法,1.分离变量,2.两边积分,可得到所求未知函数式y=y(x)，并含有一个任意常数C，即得通解。,3.求出特解,的通解。,解 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解。,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例1 求微分方程,解 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例2 求微分方程,满足初始条件,的特解。,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律。,解 根据题意, 有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t = 0 时铀的含量为,例3 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,成正比,求,解 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,例4 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系。,t 足够大时,例5 有高为1 m的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1cm2(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律。,解：由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程。,可分离变量,分离变量得：,所求规律为,一阶线性微分方程,课 题 二,1.理解一阶线性微分方程的概念;,教学目标,2.能够求出一阶线性微分方程的通解 和特解。,课题提出,如图闭合电路是RL 串联电路,其中电动势E=15V,电感L=0.5H,电阻R=10,如果开始时(t=0时),回路电流为 ,试求该电路在任何时刻电流。,R,K,L,课题分析,设电路在任意时刻t的电流为i=i(t),由回路电压定律,其中,末知函数i=i(t)满足微分方程,且满足初始条件,微分方程中i及 指数为1,R,K,L,例如,线性;,非线性。,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) = 0,称为非齐次方程 。,称为齐次方程 ;,一、一阶线性微分方程的定义,相关知识,1. 齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,通解公式,2.非齐次方程,二、一阶线性微分方程的解法,解,例 求方程 的通解。,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,电阻 R 和电,解 列方程 。,已知经过电阻 R 的电压降为R i,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,例 有一电路如图所示,其中电源,求电流,感 L 都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,解的意义:,因此所求电流函数为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 min后使车间空,的含量不超过 0.06 % ?,提示: 设每分钟应输入,t 时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 )。,得微分方程,( 假定输入的新鲜空气,输入 ,的改变量为,例 已知某车间的容积为,t = 30 时,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气 。,初始条件,得,k = ?,代入公式,二阶常系数齐次线性微分方程,课 题 三,1.理解二阶常系数齐次线性微分方程 及其特征方程的概念;,教学目标,2.掌握二阶常系数齐次线性微分方程 的求解方法和步骤。,课题提出,一架质量m=9500kg的某型飞机在降落触地的瞬间，机尾张开减速伞，以增大阻力,使飞机迅速减速并停下. 如果该飞机着陆时的水平速度是 ，经测试，减速伞打开后，飞机受到的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数 ），那么，从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？现在某就近机场只有一段长度为1.5km的跑道可供使用，试问这架飞机是否可以在该机场备降？,。,课题分析,已知飞机质量m=9500kg,比例系数,着陆时的水平速度是,设飞机在着陆后在任意时刻t的滑行距离为s=s(t),则,根据牛顿第二定律 F=ma,由飞机受到的净力=飞机推动力+飞机受到的综合阻力, 即：ma=0-kv,得微分方程,这是一个二阶微分方程。,一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义,相关知识,定义 具有以下形式的二阶微分方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程，即,或,其中p、q为常数,方程的特点是 ：方程中含有最高为二阶的导数或微分；未知函数及其各阶导数的系数都是常数；常数项为零；未知函数及其导数的次数都是一次。,如：,称为微分方程的特征方程,其根称为特征根。,特征方程与特征根,如：二阶常系数齐次线性方程,相应的特征方程,解得两个相同的特征根,二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,实根,相关知识,1.写出微分方程 所对应的特征方程,2.求出特征方程的两个特征根,3.根据两个特征根，由下表写出微分方程的通解。,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法。,的通解。,解 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例 求解初值问题,解 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例 求,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例 求方程 的通解。,解,位移满足自由振动方程 ,例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设 t = 0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建