抛物线及其标准方程(李用).ppt

,2.4.1 抛物线及其标准方程,小结：,抛物线的生活实例,喷 泉,灯,卫星接收天线,抛物线的生活实例,抛球运动,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,探究？,几何画板观察,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,一、抛物线的定义:,二、标准方程的推导,如何建立坐标系呢？,思考：抛物线是轴对称图形吗？,1.建立坐标系,2.设动点坐标,相关点的坐标.,3.列方程,4.化简,整理,l,解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,二、标准方程的推导,依题意得,5.证明（略）,这就是所求的轨迹方程.,三、标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且 p的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离,焦点坐标是,准线方程为:,想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),想一想?,这种坐标系下的抛物线方程形式怎样?,四种标准方程,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.,(三)抛物线的标准方程,y2= -2px(p0),x2=2py(p0),x2= -2py(p0),y2=2px(p0),抛物线的四种标准方程对比,2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？,焦点在一次项字母对应的坐标轴上.,一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.,1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点?,左边都是平方项， 右边都是一次项.,应用：类题一（由方程求有关量）,感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点: 1.先化为标准方程 2. 判断焦点的位置,即：准确“定型”,练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）,开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,1. 焦点为F（-2，0），则抛物线的标准方程为_. 2. 准线方程是y = -2，则抛物线的标准方程为_. 3.焦点到准线的距离是4,则抛物线的标准方程为_ _.,y2=-8x,x2=8y,y2=8x 、 x2=8y,（1）,（2）,应用：类题二（由有关量求标准方程）,感悟 ：1.“定型”“定量” 2.如果焦点位置或者开口方向不定则要注意分类讨论.,4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向,1.抛物线的定义:,2.抛物线的标准方程有四种不同的形式: 每一对焦点和准线对应一种形式.,3.p的几何意义是:,焦 点 到 准 线 的 距 离,P66例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；,（2）已知抛物线的方程是y = 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；,（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。,1 12,P67练习1：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,P67课堂练习,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,思考:M是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点 M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是 ,这就是抛物线的焦半径公式!,3、(1)抛物线y2 = 2px（p0）上一点M到焦点的距离是a，则点M到准线的距离是_，点M 的横坐标为_,P67练习3(1),a,3、(2)抛物线y2 = 12x上与焦点的距离等于9的点的坐标为_,P67练习3(2),3,-3,2. 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到准线的距离，则点M的坐标是_.,变式练习:已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.,数形结合,用定义转化条件。,5.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.,感悟：1.待定系数法 2.数形结合 3. 分类讨论,应用：类题二（由有关量求标准方程）,4.求焦点在直线3x+4y-12=0上的抛物线的标准方程.,应用：类题二（由有关量求标准方程）,标准方程对应的抛物线焦点在坐标轴上.,分析:,例2 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x+5=0的距离小 1，求点M的轨迹方程.,解：如图,设点M的坐标为(x,y), 依题意可知点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离，根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4,0）为焦点的抛物线.,焦点在x轴的正半轴上， 点M的轨迹方程为：y2=16x,l,x,O,y,F,题型一 利用抛物线的定义求方程 例1:若动圆M与圆C:(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x,答案:A,解析:如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题设可知定圆圆心为C(2,0),半径r=1.两圆外切,|MC|=R+1.又动圆M与已知直线x+1=0相切,圆心M到直线x+1=0的距离d=R,|MC|=d+1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x+2=0的距离.由抛物线的定义可知点M的轨迹为以C为焦点,x+2=0为准线的抛物线,其方程为y2=8x.故正确答案为A.,变式训练1:动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则动点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线一支 D.抛物线 解析:将直线x=-2向左平移一个单位,由已知可得动点P到点(3,0)的距离等于到直线x=-3的距离.,答案:D,2.抛物线y2=8x的准线方程是( ) A.x=-2 B.x=-4 C.y=-2 D.y=-4 答案:A,解析:y2=8x=24x,p=4,准线方程为,答案:B,解析:x2=ay的准线方程为 ,a=-8.,答案:C,答案:B,6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点,且过点P(2,4),则该抛物线的方程为_.,y2=8x,解析:设抛物线方程为y2=ax,又抛物线过点P(2,4),则16=2a,a=8, y2=8x.,7.(2008上海,6)若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a=_.,-1,解析:由y2=4x得焦点F(1,0),代入直线方程得a+1=0.a=-1.,11.(2010福建卷)以抛物线y2=4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为( ) A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0 C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0,解析:抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0), 圆心坐标为(1,0),半径r=1, 圆的方程为(x-1)2+y2=1, 即x2+y2-2x=0. 答案:D,题型二 求抛物线的标准方程 例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程. 分析:首先需确定使用哪种标准方程形式,若无法确定,则应讨论,然后由条件求p的值.,例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2);,(2)令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2, 当抛物线的焦点为F(0,-2)时, 设抛物线方程为x2=-2py(p0), 则由 =2得p=4, 所求抛物线方程为x2=-8y. 令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4, 当抛物线的焦点为F(4,0)时, 设抛物线方程为y2=2px(p0), 则由 =4得p=8, 所求抛物线方程为y2=16x. 综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.,例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程. (2)焦点在直线x-2y-4=0上;,(3)焦点到准线的距离为 p= 所求抛物线方程为: y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y. 规律技巧:(1)抛物线的标准方程有四种形状,主要看其焦点的位置和开口方向.(2)不知道焦点的具体位置时,标准方程有两种一般形式:y2=mx(m0)或x2=ny(n0).,例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程. (3)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为,变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3,-4);,解:(1)点(3,-4)在第四象限,设抛物线标准方程为y2=2px(p0)或x2=-2p1y(p10). 把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px和x2=-2p1y, 得(-4)2=2p53,32=-2p15(-4),(2)令x=0得y=-5,令y=0得x=-15. 抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). 故所求的抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.,变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (2)焦点在直线x+3y+15=0上.,1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.线段 D.直线,解析:因为定点(3,5)在直线上,所以点的轨迹是直线. 答案:D,方法：利用平移,3.动点P到点A(0,2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为_,x2=8y,1.抓住标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对应关系; 2.抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用.,题型三 与抛物线有关的最值问题 例3:已知抛物线x2=4y,点P是抛物线上的动点,点A的坐标为(12,6).求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值.,提示：利用准线,分析:由定义知,抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d,求|PA|与点P到x轴的距离之和的最小值,转化成求|PA|+d- 的最小值.,解:如下图,易判断知点A在抛物线外侧,设P(x,y),则P到x轴的距离即y值,设P到准线y=-1的距离为d,则y=d-1.,故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d. 于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1. 由图可知,当APF三点共线时,|PA|+|PF|取最小值为13.故所求距离之和的最小值为|FA|-1=12.,规律技巧:定义是解决问题的基础和灵魂,要善于思考定义和应用定义,本题如果设P点坐标为(x,y),利用两点间距离公式求解,无法得到答案.由抛物线定义可知,|PF|等于P点到准线的距离,当PAF三点共线时,|PA|+|PF|的距离最小,这体现了数学中的转化思想.,变式训练3:(2008辽宁高考)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ),解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可知,P点,(0,2)点和抛物线的焦点(0.5,0)三点共线时距离之和最小.,答案:A,1.已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的 距离之和最小，并求出这个最小值.,提示：利用点到直线距离定义及二次函数最值,提示：利用准线,题型四 抛物线的应用,例4:一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如下图所示,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.,分析:要求拱宽a的最小值,需建立适当的坐标系,写出抛物线方程,然后利用方程求解.,规律技巧:这是抛物线的应用问题.解题时,可画出示意图,帮助理解题意,转化为数学问题,作出解答.,变式训练4:某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m, 高2 m,载货后木船露在水面上的部分高为 m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?,答:水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.,8.(2009海南宁夏卷)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_.,y2=4x,解析:设抛物线方程为y2=ax(a0), 由方程组 得交点坐标为A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)为AB的中点,从而a=4.