《正态随机过程》PPT课件.ppt

第五章： 正态随机过程,多维正态随机变量的定义与协方差矩阵 多维正态随机变量的性质 正态随机过程的定义 正态随机过程的性质,定义： 如果对一个随机过程任意选取n个时刻,则得到n个相应的随机变量, 若此n个随机变量的联合分布都是n维正态分布，则称随机过程X(t)是正态随机过程（高斯过程）。,随机变量的特征函数 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。,一、特征函数的定义 设 为随机变量，称 的数学期望为随机变量 的特征函数。记为,已知特征函数，求概率密度函数。,例题： 解：,例题：,P8例题1.2,二、性质 1） 2）X的特征函数为 ，则Y=aX+b的特征函数为：,证明：,例题： 构造 其中,解：,3）矩定理,证明：,当n=1时,证明：,三、多维随机变量的特征函数 1）定义,即：,若,2）性质 1、若X1，X2 统计独立，则： 推广到n个 解：,若独立，则,2、边际特征函数 推广到n个 解：,3、已知,证明：,比较：,一维正态随机变量的概念： 一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为,记为 特征函数为:,二维正态随机变量的概念： 若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为,则称X1,X2为二维正态随机变量。其中为X1和X2的相关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为,因此其边际分布为一维正态分布 ，,二维正态分布的协方差矩阵可表示为,二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质： 实对称矩阵； 正定矩阵 其逆矩阵可表示为,二维正态随机变量的联合密度也可表示为,其中,n维正态随机变量的定义： 若n维随机变量的联合密度函数为,则称 为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定阵。记为,n维随机变量的性质,若 ，则存在n阶正交矩阵A，使得向量 中的分量Y1,Y2, ,Yn是独立的随机变量，且Yi为一维正态分布N(0,di)。,说明,2、 的特征函数为,证明,总存在正交矩阵A，通过变换 此时随机向量的协方差矩阵，且,由性质1可以知道： 为n维独立随机变量，,且,其中,则,由特征函数线性变换的性质，对于,可以得到:,3、n元正态分布中任意m维子向量亦为正态分布(mn),证明,已知:,若令,则:,4、n元正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。 即若 为正态随机向量，则 亦为正态随机向量。,只需证明其特征函数亦为正态特征函数,即,已知,若,即,证明：,5、若 为n维正态随机变量，那么X1,X2, ,Xn相互独立的充要条件是两两互不相关。,证明,(1) 若已知两两相互独立,则不相关. (2)若已经知道两两不相关,即Cij=0(当i不等于j时)，则,实际上，若：,方法二：,正态随机过程定义： 若随机过程X(t)的任意n维分布都是n维正态分布，则称X(t)是正态随机过程（高斯过程）。,正态随机过程的性质： 若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。 二阶矩过程,宽平稳特点,X(t)的期望为常数，与时间原点无关,X(t)的相关函数只是时间差t的函数,若正态过程为宽平稳过程，则mX(t)=a为常数，RX(tk,ti)= RX(tk-ti). 任取n个抽样时刻t1,t2,tn，这n个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为B，其任意一元素 bki=RX(tk-ti)-a2=b(tk-ti),则该n个正态变量对应的特征函数为：,证明：,若把n个时间抽样点作一个时间平移h,即取抽样时刻为t1+h,t2+h,tn+h,则平移后的对应的n个正态分布的随机变量的特征函数为：,高斯过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。 若系统输入端的随机过程为非高斯过程，只要输入随机过程的等效带宽远大于系统的通频带，系统输出端得到正态随机过程。 平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布认为正态随机过程。,证明,例题1： 设平稳正态过程X(t)均值为0，相关函数RX()=(e-2|)/4，求对给定时刻t，X(t1)的值在0.5和1之间的概率。 解：,例题2： X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中A与B为两个独立的正态随机变量，且EA=EB=0，EA2=EB2=2，w0为常数，求X(t)的一维，二维密度函数。 解：,X（t）为正态随机过程，,所以：,或者,或者,所以,作业,X(t)Xcos2t+Ysin2t，式中X和Y是独立的随机变量，且均值为0，方