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10.不变子群、商群,10.1 定义 10.2 例子 10.3 等价条件 10.4 商群,10.1 定义,这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群,给了一个群 ，一个子群 ，那么 的一个右陪集 未必等于 的左陪集 ，这一点我们在上一节的例里已经看到,定义 一个群 的一个子群 叫做一个不变子群,假如对于 的每一个元 来说,都有,10.2 例子,例 一个任意群 的子群 和 总是不变子群，因为对于任意 的元 来说，,证明:,. 的每一个元 可以同 的每一个元 交换，所以 ，即 是不变子群,这个不变子群 叫做 的中心,10.3 等价条件,由于结合律成立, ， ， 的乘积用符号 来表示,证明 证完,注5. 可以换成 ?,证明 这个条件的必要性是显然的，是定理的直接结果我们证明它也是充分的,小结:,注意: 不变子群不具有传递性.,10.4 商群,不变子群所以重要，是因为这种子群的陪集，对于某种与原来的群有密切关系的代数运算来说，也作成一个群,我们看一个群 的一个不变子群 的所有陪集作成一个集合,定理 一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群,证明 我们证明群定义的条件， 能被满足,显然, 是单位元,因为, 有逆元 ,因为,证完,定义 一个群 的一个不变子群 的陪集所作成的群叫做一个商群这个群我们用符号 来表示,因为 的指数就是 的陪集的个数，我们显然有，商群 的元的个数等于 的指数当 是有限群的时候，,从商群的角度重新认识剩余类加群,第一，回忆
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