《线代的32线代的》PPT课件.ppt

3.3 空间中的平面与直线,图形的方程 (1)图形上任一点M(x,y,z)满足此方程; (2)满足方程的点M(x,y,z)都在图形上.,3.3.1 平面的方程 1. 平面的点法式方程 法向量n: 垂直于平面 非零矢量 设上点 M0(x0 , y0 , z0) 法向量n = (A , B , C) 则点M(x , y , z)在平面上,M0 M,n,即平面的点法式方程 2、平面的一般方程 由点法式方程，令 化为平面的一般方程 其中A , B , C不全为零. 即平面方程是一个三元一次方程。,反之，任何一个三元一次方程，只要一次项 系数不全为零，它的图形就是一个平面. 证 设三元一次方程 找出一组解 x0 , y0 , z0，即,两式相减得 即点M(x , y , z)在过点 M0(x0 , y0 , z0)且与向量 n = (A , B , C)垂直的平面上 ，因此一次方程 表示过M0且垂直于向量n的平面,例1 求过点 (1 , 1 , 2) 且与向量 n = (1 , 2 , 1) 垂直的平面 解 由点法式方程，有 即,例2 求通过x轴与点(4 , -3 , -1)的平面方程 解 所求平面通过 x 轴，法向量n=(0 ,B , C) 平面的方程为 因为点(4 , -3 , -1)在平面上，因此有 所求的平面方程为,3. 三点式方程,已知 为不共线三点，则取 与平面平行的矢量 .,设 为平面上任意点，则有,例3 平面过三点M1(1 , 1 , 1)、M2(-2 , 1 , 2)、 M3(-3 , 3 , 1) ，求这平面的方程 解一 设平面方程为 那么M1、 M2、 M3三点的坐标满足方程 ，有,解得 由于A、B、C不能同时为零，因此A0 . 于是平面方程为 即,4、平面的截距式方程 设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点， 三交点分别为P(a , 0 , 0)、Q(0 , b , 0)、R(0 , 0 , c) 其中a 、 b 、 c均不为零 设平面的一般方程为,P(a , 0 , 0),Q(0 , b , 0),R(0 , 0 , c),将三点坐标代入得方程组 解得 代入平面的一般方程得平面的截距式方程 其中a、b、c 称为平面在三坐标轴上的截距 。,例4 写出平面 3x-4y+z-5 = 0的截距式方程 解 所求的平面截距式方程为,利用平面方程研究平面 1、平面的位置 设平面的一般方程为 （1）A0，B0，C0，D0 平面不过原点，在 x轴、y轴、z轴、上的截距分 别为-D/A、-D/B、-D/C.,（2） A0，B0， C0，D = 0 平面过原点 （3）A、B、C中有一个为零 A = 0，平面方程为 By+Cz+D = 0 平面平行于x轴,B = 0 , 平面方程为 Ax+Cz+D = 0 平面平行于y 轴 C = 0 , 平面方程为 Ax+By+D = 0 平面平行于z 轴,（4）A、B、C中有两个为零 A = 0， B = 0 , 平面方程为 Cz+D = 0 平面与z 轴垂直 B = 0， C = 0 , 平面方程为 Ax+D = 0 平面与x 轴垂直,A = 0， C = 0