《点的运动学》PPT课件.ppt

第二篇 运 动 学,引言,运动学是研究物体机械运动的几何性质。也就是从几何的观点研究物体的机械运动，而不涉及运动的原因。 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础；其次运动学的理论可以独立地应用到工程实际中。,运动是绝对的。 由于物体运动的描述是相对的， 将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐 标系称为参考坐标系。只有明确参考来分析物体的运动 才有意义。对一般工程问题，如不作特别说明，参考坐 标系与地球相固结。 时间概念要明确：瞬时和时间间隔。 研究的力学模型：点和刚体。点是指无质量、无大 小、在空间占有其位置的几何点；刚体是一种特殊的质 点系，其上任意两点的距离保持不变。,第六章 点的运动学,本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。,一、点的运动方程,如图，动点M沿其轨迹运动，在瞬时t，M点在图示位置。,由参考点O向动点M作一矢量 ， 则称 为矢径。于是动点矢径形式的运动方程为,显然，矢径的矢端曲线就是点的运动轨迹。,用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。,6-1 矢量法,二、点的速度,当 时，平均速度的极限矢量称为动点在t瞬时的速度。即,即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。 方向沿轨迹的切线并指向点的运动方向。,如图，动点M在时间间隔 内的位移为,三、点的加速度,如图，动点M在时间间隔 内速度矢量的改变量为,当 时，平均加速度的极限矢量称为动点在t瞬时的加速度。即,即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数， 也等于它的矢径对时间的二阶导数。,矢端曲线,速度 矢径矢端曲线切线,加速度 速度矢端曲线切线,直角坐标与矢径坐标之间的关系,6-2 直角坐标法,如图，在参考体上建立直角坐标系。则,这就是直角坐标形式的点的运动方程。,速度,这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。,加速度,这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。,例6-1 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。,解：点M作曲线运动，取坐标系xoy,运动方程：,消去t, 得轨迹方程：,求：x=x(t)， y=y(t)。,已知：,速度,求：x=x(t)， y=y(t)。,已知：,加速度,求：x=x(t)， y=y(t)。,已知：,例6-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 （v为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为v0, 求活塞的运动规律。,解：1 活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图, 6-3 自然法,以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴（弧坐标）来确定动点位置的方法称为自然法。,S 弧坐标,坐标原点O 在已知轨迹上任选一点。 弧坐标S 沿轨迹从O到点M的弧长。 坐标正向 指定坐标原点O的某一侧为正向。,当动点运动时，弧坐标随时间t连续变化，且为时间t的单值连续函数，即,这就是自然坐标形式的点的运动方程。,副法线单位矢量,切向单位矢量,主法线单位矢量,由三个方向的单位矢量 构成的坐标系称为自然轴系。它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向； 的正向指向曲线在M点的曲率中心； 的正向由右手法则决定。自然轴系 的方向将随动点在曲线上的位置变化而变化，不是固定坐标系。,自然坐标轴的几何性质,3、 速度,即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当 为正时指向与 相同，反之，与 相反。,4 加速度,代入,则,上式表明加速度矢量 是由两个分矢量组成：分矢量 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。,加速度在三个自然轴上的投影为,全加速度位于密切面内，其大小为,曲线匀速运动,常数,曲线匀变速运动,常数,当点的运动轨迹已知时，运用自然轴系来描述点的速度、加速度比较简便；当点的运动轨迹未知时，运用直角坐标来描述则比较方便。,例6-4 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。,已知：R=800m=常数，,解：1 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图,例6-4 半径为R的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角 ，如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。,求：M点的运动方程、 速度和加速度,解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图。,当M点与地面接触，即 时，M点速度等于零。,此时M点的加速度是否为零？ 为什么？,M点的加速度分量为：,M点的加速度大小为：,当M点与地面接触，即 时，M点加速度分量为：ax=0 ; ay= r2 。,解：建立如图所示的自然坐标。则点的自然坐标形式的运动方程为,速度为,加速度为,例：杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知 （ 为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。,例：一点作平面曲线运动，其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下，点的加速度的大小为 。其中v为点的速度的大小， 为轨迹的曲率半径。,证明：设点沿图示曲线运动，速度和加速度如图。由已知条件得,（1）,由于速度在x轴上的投影始终为一常数，所以,由于,所以,于是可得,因为,所以,将（1）式代入上式得,证毕。,解：因为,所以,还可用其它方法求出，例