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第三节,一、函数单调性,二、函数的极值及其求法,函数的单调性与极值,第三章,三、最大值与最小值问题,一、函数单调性的判定法,证：,应用拉氏定理,得,定理1,(1) 如果定理1中的闭区间换成其他各种区间，结论也是成立的.,注意,如果,上单调增加(单调减少),例2,解,例1,求函数的单调区间,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，,单调区间的分界点,在该定义区间的部分区间上单调,但,则该区间称为函数的单调区间.,方法:,(导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。）,例3,解,单调区间为,例4,解,单调区间为,例6,证,例5,例7,二、函数的极值及其求法,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定理2(费马定理),定义,注意:,例如,定理3(第一充分条件),(是极值点情形),(2)如果,而,及,时,符号相同,(3)如果当,则,(1)如果,求极值的步骤:,(不是极值点情形),例8 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,证,同理可证(2).,定理4(第二充分条件),那么,(2)当,(1)当,例9,解,图形如下,注意:,三、最大值与最小值问题,求最值步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个最大哪个就是函数在区间上的最大值,哪个最小哪个就是函数在区间上的最小值;,例10 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,例11,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,清楚(视角 最大) ?,观察者的眼睛1.8 m,例12 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上, 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为xm,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,作 业 P173 1
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