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洛必达法则,定义,都趋于零或都趋于无穷大,则极限,例如,定理,设(1),零;,(2),洛必达法则,定理,设(1),零;,(2),洛必达法则,定理,设(1),零;,(2),(或为无穷大),那么,(3),存在,注:,1.,上述定理仍然成立;,2.,也有与上述,洛必达法则,注:,1.,上述定理仍然成立;,2.,也有与上述,洛必达法则,注:,1.,上述定理仍然成立;,2.,也有与上述,定理完全类似的结论:,我们把这种在一定条件下,导,法则.,通过对分子分母分别求,再求极限来确定未定式的值的方法,称为洛必达,完,例1,解,求,原式,例2,解,求,原式,注:,上式中,已不是未定式,不能再对它,应用洛必达法则.,完,例3,解,求,完,例4,解,求,注:,若求,则可利用,上面求出的函数极限,得,完,例5,解,求,完,例6,解,求,原式,例7,解,求,得,原式,例7,解,求,得,原式,例7,解,求,得,原式,注:,对数函数,幂函数,指数函数,均为,但它们增大的速度很不,一样,其增大速度比较:,对数函数幂函数指数函数.,完,例8,解,求,所以,注:,洛必达法则,但,若能与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.,例,如,能化简时应尽可能先化简,虽然是求未定式的一种有效方法,例8,解,求,所以,注:,洛必达法则,但,若能与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.,例,如,能化简时应尽可能先化简,虽然是求未定式的一种有效方法,例8,解,求,所以,注:,洛必达法则,但,若能与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.,例,如,能化简时应尽可能先化简,虽然是求未定式的一种有效方法,可以应用等价无穷小,替换或重要极限时,应尽可能应用,以使运算尽可能,简捷.,完,例9,解,求,但分子分母分别求导,数后,将化为,此式振荡无极限,故洛必达法则失效,不能使用.,但原极限是存在的,可用下法求得:,完,例10,解,求,可将乘积化为除的形式,即化为,或,型的未定式来计算.,完,例11,求,解,来计算.,完,例,求,解,完,
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