《连续性概念》PPT课件.ppt

第四章 函数的连续性,1 连续性概念,一、函数在一点的连续性,二、 间断点及其分类,三、区间上的连续函数,第四章 函数的连续性,首页,1 连续性概念,2 连续函数的性质,3 初等函数的连续性,在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的函数值与极限值是两个不同的问题 .,它们的关系有,函数值不存在，极限存在；,函数值、极限值都存在，但不相等；,函数值等于极限值.,可用代入法求极限,什么样的函数可用代入法求极限？,函数连续的概念,当自变量时间 t 变化无限小时，这些规律变量的变化也无限小.,如气温随时间的变化规律、有机体随时间的生长规律等变量.,1 连续性概念,首页,客观世界中许多量的变化都是循序渐进的.,这种连续变化的特点是：,如何在数学上刻画出变量对应关系的这种变化特征？,对变量这种变化特征的研究产生了连续函数概念.,有些函数图像上的点连绵不断，构成了函数曲线一种 “连续”(不间断)的外观 .,从几何上看，,首页,x0,要准确地把握曲线这些“连续”与“间断”的情况，需要精确的数学描述.,若要曲线连绵不断，就要曲线在其每一定义点 x0 都能连接起来.,可用极限概念描述,如何描述？,y=f (x),.,.,一、函数在一点的连续性,首页,则称 f 在点 x0 连续.,设函数 f 在某U (x0 )内有定义,1.定义1(P69),若,例如, 函数 在点 x = 2 连续，,因为,又如, 函数 连续,因为在点 x = 0，,注1 函数 f 在点 x 0 连续，,则 x 0 必属于 f 的定义域 .,自变量 x 在该邻域内，,变形：,称差 x - x0 为自变量 x 在点 x0 的增量或改变量，,2. 连续的等价定义,先介绍一个用来描述变量变化的概念 增量.,设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域内有定义，,称函数值之差 f ( x0 + x ) - f (x0)为 函数 f (x)在点x0 对应于自变量的增量x 的增量或改变量.,y + y y,x0 x,记为 y，,注2 增量是可正可负的，,记为x，,即,即, f (x) = f (x0) + y .,.,可用增量描述变量.,我们规定自变量的增量 .,x, y,y = f (x ),且,首页,0+x,在 x0的基础上调整x时，市场的反应(销售的增减量)如何？,它只是表示变量的一个新的记法.,实际上，不必把增量看成是一个新的数学概念，,他须要研究的是与增量 x 相应的增量 y 的关系.,用它来描述变量的变化是分析函数的一个十分重要角度.,特别是在研究函数在一点附近的变化时，增量的记法具有特殊的重要性和优越性.,例如，设变量 y 某商品销售量，x 该商品价格.,在一定条件下，x与 y 的关系可用价格销售函数来描述 .,作为销售经理虽然关心价格销售函数，但更重要的问题是：,如果现在价格是x0，,如何分析增量x， y，正是微积分的灵魂.,首页,函数 在点连续的充分必要条件是,等价定义1,注3 函数在一点连续实质就是:,因此,结合函数极限的定义可有函数在一点连续的 - 定义 .,首页,当自变量变化不大时, 函数值变化也不大.,首页,注4 由上述定义, 我们可得出函数 f 在点 x0 有极限与 f 在点 x0 连续之间的关系：,函数 在点连续的充分必要条件是,(i) f 在点 x0 有极限是 f 在点 x0 连续的必要条件.,等价定义 2,(ii) “ f 在点 x0 连续”要求: f 在点 x0 有极限且其极限值应 等于 f 在点 x0 的函数值.,f 在点 x0 连续,其中D ( x ) 为狄利克雷函数.,证明函数 在点 x = 0 连续,例1,首页,证,由 f (0) = 0 及 |D(x)|1,为使,只要取 = ,对任给的 0 ,即可按 - 定义推得 f 在点 x = 0 连续. ,注 函数在一点处连续是函数的局部性态，,例1就是一个仅在点 x = 0 连续的函数.,3. 左右连续,首页,定义2,设函数 f 在某U+(x0) (或 U-(x0) )内有定义,若,则称 f 在点 x0 右(左)连续.,f 在点 x0 既是右连续, 又是左连续.,定理4.1,函数 f 在点 x0 连续的充要条件是：,即,且,从而它在 x = 0 不连续(见图4-1).,首页,讨论函数 在点 x = 0 的连续性.,解,例2,而,所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续,函数的连续性在数学分析中是承上(极限理论与方法)启下(微分积分概念)的一个重要环节，,是使用 极限工具研究函数变化的微观性态和宏观性态的开始.,我们按如下方法定义一个函数 ：,当 时,当 时,易见, 对于函数 , 是它的连续点.,设 为函数 的可去间断点,则称 为 的可去间断点.,若 ，而 在点 无定义,间断点的分类,首页,的间断点或不连续点.,则称点,或在点,二、 间断点及其分类,定义3,设函数,内有定义，,为函数,而不连续,有定义,1.可去间断点,或有定义但,则称点 为函数 的跳跃间断点.,若函数 在点 的左、右极限都存在，但,间断点的分类,首页,2跳跃间断点,可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点, 第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在.,3. 函数的所有其他形式的间断点,使得函数至少一侧极限不存在的那些点, 统称为第二类间断点.,若函数 在区间 上仅有有限个第一类间断点, 则称 在 上分段连续.,则称 为