大学物理第二章薛定谔方程.ppt

第2章 薛定谔方程,作业题：p71 2.1，2.2,一、薛定谔方程（Schrdingers equation）,1926年薛定谔提出,一个质量为m的微观粒子在外场中 沿x轴方向运动时，其势能U=U(x,t),这 时波动方程为：,“波动力学”理论,其核心内容:,物质波的波动方程,（适用于低速运动粒子的情况）,称为薛定谔方程,Erwin Schrdinger,一般形式的薛定谔方程, 2.1 薛定谔得出的波动方程,用“算符”代表物理量、,用求“特征值”的办法求物理量的具体取值。,这是量子力学中处理问题的基本数学手段。,称为能量算符,_动量算符,量子力学用“算符”代表物理量,_坐标算符,_角动量算符,拉普拉斯算符,一般的薛定谔方程,上述方程简写,哈密顿算符,说明,1）薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，其地位类似于经典力学中的牛顿定律；,薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实,由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理（量子力学第一原理）,设：下列波函数均满足薛定谔方程：,都是可能存在的状态,则：,也是可能存在的状态,一维情况：,一般形式的薛定谔方程,自由粒子的薛定谔方程,对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：,定态薛定谔方程,在稳定的外力场中，微观粒子的势能U与时间t无关，即： U= U(x),哈密顿算符本征方程 （能量本征方程）,其一维的势能图如下图所示，,其形状与陷阱相似，故称为势阱。,质子在原子核中的势能曲线也是势阱.,为了计算简化，提出了一个理想的势阱模型 无限深势阱,2.2 一维无限深方势阱中的粒子,势函数,（0xa),由于势能与时间无关，所以只需解一维定态薛定谔方程,（ x 0 或x a),按照经典理论，处于无限深势阱中的粒子，其能量可取任意的有限值，粒子在宽度为 a 的势阱内各处的概率是相等的。,但从量子力学来看，这些问题又是什么样的情况呢？,势阱外：,对于E为有限值的粒子，要使上述方程成立，唯有,（x 0 或x a）,势阱内：,（0xa),其解为：,由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：,得：,势阱外（x 0 或x a）：,势阱内（0xa) ：,称为量子数（quantum number）,称为量子数（quantum number）,综上：,（0xa),（ x 0 或x a),将波函数归一化：,即：,此结果的物理意义：,在0xa的区域：,势阱中的粒子在各处的概率密度,（0xa),（ x 0 或x a),其中：,n=1,n=2,n=3,各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波,当 时，在 处粒子出现的概率最大,当 时，在 处粒子出现 的概率最大,n 时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致,势阱中粒子的能量（能量本征值）：,由：,说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。,能级图为,粒子的能量不能连续取值，只能取分立值,讨论：,粒子的最小能量不能等于零,因为,所以 n 最小取1，粒子的最小能量为,说明不存在这种状态,粒子的最小能量状态称为基态 最小能量零点能,完全静止的粒子是不存在的！,粒子的能量不能连续取值，只能取分立值,讨论：,由,在一定条件下，量子力学解可趋近于经典力学的情况：,当量子数n足够大时：,当m或a足够大时，同样得到上述结论,粒子能量趋于连续分布,当 能量的量子化效应就不显著，可认为能量是连续，,所以经典物理可以看作是量子物理中量子数 时的极限情况,当 时，均匀分布，量子经典,n=1,n=2,n=3,各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波,无限深势阱中粒子的每一个能量本征值对应于 德布罗意波的一个特定波长的驻波。,波长量子化, 2.3 势垒穿透,方势垒,经典理论或量子力学，粒子都可以穿过区域进入区域。,从经典理论看，由于粒子动能必须为正值，所以不可能进入区域和区域。,但从量子力学分析，粒子仍可以穿过区域进入区域。,在区域:,设波函数为 薛定谔方程,在区域:,设,在区域:,设,根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得,粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动