皮亚杰的数学观下的儿童.pps

皮亚杰的数学观下的儿童 的数学思维与数学学习,本文框架,1.皮亚杰的数学观 2.皮亚杰的儿童数学思维发展观 3.皮亚杰理论的一些局限性,一、皮亚杰的数学观,（1）什么是数学观 数学观是人们对数学的总体看法，它有各种表现形式.例如在本体论方面，数学对象是否具有客观性？在认识论方面，数学发展的动力或源泉是什么？数学是经验科学还是演绎科学抑或是经验与演绎的辨证统一？数学的真理性标准是什么？这些都涉及对数学的总体看法，人们对这些问题的不同回答反映出他们不同的数学观.,（2）关于数学的总体认识,关于数学的认识，皮亚杰认为:全部数都可以按照结构和建构来考虑.数学认识是不断建构的产物.建构构成结构，结构对认识起中介作用；结构不断建构，从比较简单的结构到更为复杂的结构，其建构过程则依赖于主体的不断活动. 数学知识既不是形成于物理实在的客体之中，也不是先验的形成于主体自身之中，而是来自于主体的协调动作和动作图式.是对人类动作图式通过不断反身抽象和内部协调方式进行内化建构的产物.这种产物除数学外就是逻辑数学结构，皮亚杰常合称为逻辑数学图式或逻辑数学结构.,皮亚杰认为数学实体不具有本体论意义.在内化建构中，新图式取代旧图式，不是简单的抛弃旧图式，新图式是从旧图式发展而来的，新图式保留、改造了旧图式并把它整合到旧图式中去，即旧图式服从新图式的整体结构，从而新图式进入比较高一级的程度.也就是说不存在“一切结构的结构”，这就是逻辑数学发展的渐进模式.这种发展是无止境的，永远不会停留在一种水平上.,（3）数学实体不具有本体论意义,（4）对数学认识论的三个传统问题的回答,第一，数学是奠基于极少数内容相当贫乏的概念或公理上，却是富有成效的. 皮亚杰认为，数学认识是不断建构的产物，建构是过程，建构的结果是形成结构，由于主体的不断活动，结构又不断的建构，从而从简单的结构形成更为复杂的结构和更为丰富的结构.在建构过程中，最初与一定的具体事物相联系(如，儿童最初出现的数学活动看起来是经验性的：把算盘珠子拨拢来或者分开，集合体的排列来证实可交换性等)，经若干次提炼后建构就不必顾及具体经验事物的存在与否，可以只根据运算的逻辑规律自由地进行组合，并且这种组合的正确与否可由逻辑法则予以判定而无须求助于任何经验事物(即具有演绎性质).即，如皮亚杰所说：这些活动一旦内化为运演的形式时，就能以符号的形式，从而也能以演绎的方式来进行.,反身抽象是对主体动作协调的抽象，也就是对运算的运算.由于它不断的从较低活动水平转移到较高活动水平，因此运算终将内化为抽象的概念运算，又因为充分使用符号，数学体系就几乎完全是由符号、数字、概念和命题组成.因此，数学所表示的只是抽象的一般，已和具体事物完全分离，只须服从运算的逻辑法则就可以独立存在，这时运算思维不在受主体实际活动的束缚而成了纯形式的运算.总之，形式可独立于它的内容而起作用，甚至没有内容的形式也能被建构起来而发挥作用.数学完全可以按照自己内在逻辑规律在自己的基础上独立自主的发展，在一种纯粹的状态中，自我支持、自我激励的繁衍自己.因此，纯粹数学的独立发展是可能的.,第二，数学具有建构的特征，这可能成为不合理性产生的根源，但为什么数学仍然具有必然性和保持着恒常的严格性呢？,皮亚杰认为，丰富性和必然性总是连在一起的，所谓现代数学的显著进是以数学进展的两个相互关联的方面，即增多了建构性和提高了严格性为其特点.任何理论体系就其自身来说总是不完备的，必须借助一个比它更完善或更“强”的理论才能证明其无矛盾性，据此，皮亚杰认为，任何一个逻辑数学结构在没被整合到一个更大或更高级的结构之前总是不完善的，这就要求对现有的结构进行反身抽象的内化建构，使之过渡到更为抽象的高级水平上，数学在这样的建构中，各种水平的结构按照其丰富性和完备性不同程度地排列起来，成为一个强度不断增长地序列，这就是逻辑数学的发展模式.这种发展过程模式是无止境的永远不会停留在一种水平上.一方面建构时应为论证的结论提出理由，另一方面，建构时我们必须能看到结论是如何从已把结论包含于其中的那些前提的组合中推导出来，而后者则抽象出一种导致结论的合成法则，此法则把建构性和严格性结合在一起.,第三,尽管数学完全具有演绎性质，但数学跟经验或物理的现实是符合一致的.,皮亚杰指出，一方面，在人类认识发展的任何阶段，主体总是在某种程度上处于不尽客观的自我中心状态之中，即处在一个不能区别一个人自己的活动和外界客体的变化这种状态中.这就妨碍主体客观的认识世界.认识的建构过程实际上是一个连续不断打破自我中心化的过程.自我中心化每被消除一次，认识的客观性就增强一次.另一方面，自然经验、客观知识都是主体外化建构的产物，它只是无限接近实际客体，所以数学与自然经验的吻合是相对的而不是绝对的.任何一种水平上的数学，它对客体的同化都要有一定的深度和范围，必须不断的提高建构水平，才能使吻合的误差变小.所以要达到某种程度的吻合，必定需要一个建构的过程.,总之，要达到数学与自然经验的一致，必须通过主体的积极的建构，一方面进行内化建构研究和发展数学本身；另外一方面进行外化建构积极应用数学于生产科研，在应用中丰富数学、促进数学的发展.建构进入形式运算阶段后，表面上看数学似乎远离了客体，但实际上数学结构倒是愈来愈接近客体.因为形式数学摆脱主体的束缚而把自己从身体活动中解放出来，同时又把主体作为时空动力变化的一部分而整合进去，从而最大限度的消除了自我中心化，主体就能用数学逻辑结构去客观地同化客体，理解自然.同时，形式化数学具有内容丰富性和逻辑的必然性，能够为客体的因果建构提供各种现实可能性的模型，并且能逻辑的预先排除和避免错误，使外化建构超越经验无歧异的进行，从而获得数学与自然、经验广泛深入的吻合同一.,二、皮亚杰的儿童数学思维发展观,布尔巴基学派的数学结构主义思想对皮亚杰的数学认识论产生了一定的影响.布尔巴基学派把数学的研究对象归结为代数结构、序列结构、拓扑结构三种基本母结构为基础的结构系统.皮亚杰研究发现，这三类结构看起来十分抽象，但在年龄小到六、七岁的儿童思维中却发现了与这三类结构相似的结构.但这些萌芽的数学结构还不能称之为数学结构，必须通过反身抽象和内部的协调建构才能形成，越是基础的结构越要经过多次的建构.这种建构的连续重复的进行，形成了数学的各种理论层次和各个发展时期.,思维发展的各个阶段,皮亚杰以运演为标志把儿童思维发展划分为四大年龄阶段： .感知运动阶段（2岁左右） .前运演阶段（27岁）又分为 前概念思考期（24岁） 直觉思考期（47岁） .具体运演阶段（711、12岁） .形式运演阶段（11、1214、15岁）,.感知运动阶段,儿童能自发的发现数量关系，这时的儿童具有目测能力（即凭短时的直觉，说出物体的数目），能根据数量的多少来判断小的集合的多少，它的发展优先于数的能力的发展.,2.前运演阶段,数字对于儿童（人的个体初始状态）来说是非常抽象的，处于前运演阶段的儿童，对具体、静止的事物形成强烈的依赖性，因此对处在幼儿期的儿童，大量的直观动作是必不可少的.必须让儿童通过一系列的“匹配”活动，自己形成抽象的数字，例如，扳着手指头数数等，是进行数字计算的必要前提.很多教师在教学中存在的偏差是急于求成，人为地取消了学生认识数的过程中的“匹配”活动，显然这样做是与思维发展的规律相违背的.,前概念思考期,前概念思考期的儿童开始有初期的概念形式，即前概念.他们以事物的相似性来区分物体种类，不能理解“所有”和“某些”之间的量的区别.他们的思想既不是归纳的，也不是演绎的，而是直接推理的.,皮亚杰认为，在这个水平上儿童还没有掌握组成推理的基本形式，例如，像下述公式所表达的那样的传递性：如果A（R）B，而且B（R）C，则A（R）C.例如，被试看见在一起的两根棍子AB，然后又看见两根棍子BC，他不能推出AC，除非他同时看到它们.,直觉思考期,儿童不是根据某些逻辑规则，而以直觉的方式来思考问题，这一时期儿童思考的最大特点是：既使因物体所处的位置不同，儿童仍能了解其数目、长度、质量或面积维持恒定的能力.但是却没有可逆思维和定量的概念.首先，是函数的概念，例如：人们把一条线折成互成直角的两个线段A和B，拉这条线，他能推测出，线段B拉长与线段A变短是互为函数的，但他并不因此就认为A+B的整个长度是不变的，因为儿童判断长度的方法是次序性的（依到达终点的顺序来决定长短：比较长=比较短），而不是凭各个间隔长的总量来判断的.其次是同一性的关系（尽管长度大小有改变，但还是同一条线段）.因为儿童没有定量的概念，儿童在心智上无法作反逆的思维过程.,例如：,准备10根吸管，让孩子从1数到10.然后问：假如最后一根是十，那么第一根是第几？将吸管全部集中让孩子数一次.之后，再分散全部吸管，并问：现在我所拥有的吸管数目是多少？还是一样？可利用手指头重复这项活动. 讨论 前运演阶段的儿童能一一计算，但不知道数字的含义儿童要充分了解数目，必须知道以下几项： 首先，分类每个手指头的长度都不一样，因此，数它时不该受到指头长短的影响，而必须理解基数的概念. 其次，基数不论物体如何排列，其数目仍然不变. 再次，序数一个物体的顺序排列位置可决定它的号数.,.具体运演阶段,对大小关系表现出如下特征：儿童能同时利用“”和“”这两个关系而不是一种关系排斥另一种关系；儿童能进行具体运演，也就是能在同具体事物相联系的情况下，进行逻辑运演，这时儿童的思维已具有可逆性和守恒性. 而守恒是这一阶段的主要标志，儿童已有了一般的逻辑结构，如群、格、群集等.这时的群集运算有五个特征，即组合性和直接性，如A+A=B；逆向性，如A+A=B，则B-A=A；同一性，如+A-A=0；重复性，如A+A=A；结合性（A+A）+B=A+（A+B）.,4.形式运演阶段,思维的特点是“有能力处理假设而不只单纯地处理客体”、“认识超越于现实本身”、“而不需具体事物作中介了”.此阶段能够真正使用逻辑思考，是逻辑思维的高级阶段.,三、皮亚杰理论的局限性,.他过于强调逻辑思维对数学概念发展的影响，忽略了数学语词的学习，特别是数学符号系统掌握和理解，以及相关的数学学习经验对儿童数概念及逻辑思维发展有重要的影响作用. .由于皮亚杰的理论关注学的主体，因此，容易忽视教的主体所代表的文化传统作用. .皮亚杰的数学观，只是从心理的发生发展来解释认识的获得，认为儿童的智力发展主要地是对客体适应的结果，而且这在很大程度上又是由主体生理上的成熟程度决定的，因此，皮亚杰的智力发展理论就表现出了浓厚的生物学色彩.或者说，皮亚杰事实上就是由生物学特别是生物进化理论获得了基本概念框架.,