专升本内容极限与连续.ppt

第一章 函数、极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 中值定理与导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分及其应用 第六章 常微分方程 第七章 空间解析几何,高数(专升本)考试章节,（一）函数的概念,（二）函数的极限,（三）函数的连续性,第一章 极限与连续 主要内容,函 数 的定义,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性,一、函数的概念,函数的两要素: 设y=f(x),xD1;y=g(x), xD2,则 1).f(x)g(x) 对任意xD1 D2 ,都有f(x)=g(x) 2). D1 D2,f(D1)=g(D2)不能推出f(x)g(x) 3).规则相同,值域相同不能推出有f(x)g(x),定义域与对应法则.,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,求y=f-1(x)的方法: y=f(x) (解出x)x=f-1 (y) (x、y互换) y=f-1 (x); y=f(x) (x、y互换) x=f (y) (解出y) y=f-1 (x).,复合函数：,复合函数的分解原则: 分解成各步的式子应为基本初等函数或基本初等函数与常数的四则运算.,初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次 四则运算和有限次的函数复合步骤所构成,并可 用一个式子表示的函数,称为初等函数.,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,两者的 关系,无穷大,极限性质：有界性、唯一性、保号性.,*,左右连续,在区间a,b 上连续,连续函数 的 性 质,初等函数 的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算性质,非初等函数 的连续性,三、函数的连续性,可去间断点：,跳跃间断点：,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处 函数的定义, 则可使其变为连续点.,无穷间断点：,震荡断点：,最值定理： 闭区间上连续的函数一定有最值.,有界定理： 闭区间上连续的函数必有界.,四、求极限的常用方法,1.利用极限的四则运算、连续性求极限; 2.变形、变换、消去零(或)因子法求极限; 3.利用单侧极限 与极限的关系;利用左右极限 求分段函数极限; 4.利用无穷小运算性质、等价无穷小替换求极限; 5.复合函数的极限、取对数法；取指数法； 6.利用两个重要极限； 7.夹限法; 8.洛必达法则等其它方法。,五、注意点,若f(x)在a,b上单调增(减),则x0(a,b) 只能是f(x)的连续点或第一类间断点.,初等函数在其定义区间内连续，但在定义域内未必连续. 分段函数的连续区间 =各段的连续区间+分段点的连续性. 初等函数的间断点x0:一般从分母为零中找,但 分母为零的点x0的附近函数要有定义.,lim=0, lim=0时,与才可能比较;,无穷小的等价关系具有自反性,对称性,传递性.,常用等价无穷小:,六、幂指函数,对幂指函数有如下结论：,求复合函数、反函数及其定义域；判定函数的初等性质。求极限；求连续区间，判断间断点及其类型；分段点的连续性(待定常数)；无穷小