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6.3 定积分的物理应用 1,抽水做功与水的质心的关系,6.3 定积分的物理应用 2,本课件讨论抽水做的功与水的质心的关系，得到以下结论： 设容器中的水的质量为M，则将容器中的水抽出所做的功，等于将位于水的质心处的质量为M的质点提升到容器顶部所做的功。 如果我们能够方便的确定容器中水的体积和质心，则抽水做功的问题将变得非常简单。,6.3 定积分的物理应用 3,水面,问题：,欲将瓶中的水从瓶口抽出，求抽水所做的功W。,6.3 定积分的物理应用 4,下面先用三重积分来建立抽水做功的计算公式,这个方法的正确性可见： /blog/static/25131916201251732933220/,6.3 定积分的物理应用 5,如图建立坐标系，使瓶底在xOy坐标面上。 设瓶中水所占据的空间区域为。,在水中(x,y,z)处取一小块水，体积为 dv (体积元素)。,6.3 定积分的物理应用 6,这一小块水受到的力 (重力)：,抽出这一小块层水的路程 (体积元素到瓶口的距离)：,抽出这一小块水的功的近似值：,（功的元素）,为水的密度，g 为重力加速度。,6.3 定积分的物理应用 7,抽出全部水的功：,(1),6.3 定积分的物理应用 8,现在来讨论抽水做功与水的质心的关系,6.3 定积分的物理应用 9,将质量为M的质点从质心的高度 提升到瓶口所做的功为：,将质量为M的质点从质心的高度 提升到瓶口所做的功为：,水的质量：,由三重积分的知道容器中水的质心的竖坐标为：,其中V是水的体积,6.3 定积分的物理应用 10,6.3 定积分的物理应用 11,结论： 设容器中的水的质量为M，则将容器中的水抽出所做的功W，等于将位于水的质心处的质量为M的质点提升到容器顶部所做的功W1。,6.3 定积分的物理应用 12,下面举例说明,6.3 定积分的物理应用 13,例,设一圆柱形贮水桶，高5m，底圆半径3m，盛满水，试问要把桶内的水全部抽出需作多少功？,同济六版289页，例 3,5m,3m,6.3 定积分的物理应用 14,解,水的体积:,水的质量:,水的质心到桶顶部的距离:,所以，把桶内的水全部吸出所做的功,5m,3m,6.3 定积分的物理应用 15,此例表明： 如果我们能够方便的确定容器中水的体积和质心
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