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文档简介
,达朗伯原理,质点的达朗伯原理,质点系的达朗伯原理,刚体惯性力系的简化,绕定轴转动刚体的轴承动反力,1.预 备 知 识,一 刚体质心的定义,质量均匀分布的规则刚体: 质心就是几何中心,定义,刚体对z轴的转动惯量。 :回转半径,二 刚体对定轴的转动惯量,例1 求简单物体的转动惯量。(平行移轴),解:由转动惯量的定义:,平行移轴公式,求均质圆盘的J0、 Jx 、Jy,P173 均质物体的转动惯量,2.质点的达朗伯原理,惯性力,2.1 原理的描述,如果在质点上除作用有主动力及约束力外,再假想地加上惯性力,则这些力构成平衡力系。质点的达朗伯原理,令,质点的达朗伯原理表明,如果在运动着的质点上加上假想的惯性力,则质点处于平衡,因而可将动力学问题在形式上化成静力学问题动静法。,2.2 动静法,求解惯性力就是求解运动;,求解FN就是求解未知的约束力(包括动反力),在已知运动求约束力的问题中,动静法往往十分方便,3.质点系的达朗伯原理,一 原理描述,质点i:,质点系的主动力系,约束力系和惯性力系组成平衡力系:,各质点间内力成对出现:,作用于质点系上的主动力系,约束力系和惯性力系在形式上组成平衡力系。质点系的达朗伯原理。,六个平衡方程, Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0, Mx = 0 My = 0 Mz = 0,所有惯性力组成的力系,称为惯性力系。,所有惯性力的矢量和称为惯性力系的主矢:,所有力向同一点简化,所得力矩矢量和,称为惯性力系的主矩:,一、刚体平动,向质心简化:,4.刚体惯性力系的简化,二、平面刚体做定轴转动,取转轴上任意一点O为简化中心,主矢,主矩,平面刚体做定轴转动,刚体对z轴的惯性积,? 如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直; 向质量对称面进行简化,取转轴与该面交点为简化中心,平面刚体做定轴转动,如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直; 向质量对称面进行简化,取转轴与该面交点为简化中心,如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直; 向质量对称面进行简化,取转轴与该面交点为简化中心,平面刚体做定轴转动,结论,三、刚体做平面运动(设运动平行于质量对称面),向质量对称面进行简化 一般取质心C为简化中心,平面运动可以分解为平动定轴转动,合力偶矩:平动部分为零,合力:,例1:,例2:,刚体作平动时(向质心简化),刚体作定轴转动时 (转轴与质量对称面垂直,向质量对称面与转轴交点简化),简化结果:,刚体作平面运动时 (设运动平行于质量对称面、向质心C简化),解:(1)分析OA、AB杆的运动:,例3长均为l,质量均为m的均质杆OA、AB铰接于O,在图示水平位置由静止释放,求初始瞬时OA、AB的角加速度。,(2)将OA杆的惯性力向O点简化,AB杆的惯性力向其质心C2简化,做整个系统的受力图:,?确定惯性力大小,OA作定轴转动, AB作平面运动。设初始瞬时两 杆的角加速度分别为1及2 。质心加速度分别为ac1及ac2.,(3)考虑系统平衡,?列什么方程,例3长均为l,质量均为m的均质杆OA、AB铰接于O,在图示水平位置由静止释放,求初始瞬时OA、AB的角加速度。,(4)考虑AB杆平衡:,联立(1), (2)求解:,例 题 4 均质圆柱体重为W,半径为R,沿倾斜平板从静止状态开始,自固定端O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ,忽略板的重量。试求: 固定端O处的约束力。,解题分析 以整体为研究对象,画受力图。,?确定惯性力大小,解:1. 首先确定圆柱体的质心加速度和角加速度,以圆柱体为研究对象,画出包括真实力和惯性力系的受力图。,对A点取矩:,例 题 4 均质圆柱体重为W,半径为R,沿倾斜平板从静止状态开始,自固定O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ,忽略板的重量。试求: 固定端O处的约束力。,2. 确定固定端的约束力 以整体为研究对象:,平衡方程:,例 题4 均质圆柱体重为W,半径为R,沿倾斜平板从静止状态开始,自固定O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ,忽略板的重量。试求: 固定端O处的约束力。,要点与讨论:,在用动静法解题时,应充分运用静力学的解题技巧:,让某些未知力通过某个矩心; 某些未知力垂直某个投影轴; 避免某些未知量在平衡方程中出现,争取一个方程求解一个未知数等。,例5 均质直角构件 ABC ,AB、BC的质量各为3.0kg, l=1.0m 。假若突然剪断绳子AE ,求此瞬时连杆AD、BE所受的力。连杆AD、BE质量忽略不计。,解:研究ABC杆,作受力图:,解得,由达朗贝尔原理,ABC作平移运动 初瞬时连杆AD、BE:0,例6 在图示机构中,沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体,各重为P和Q,半径均为R,绳子不可伸长,其质量不计,斜面倾角,如在鼓轮上作用一常力偶矩M,试求:圆柱体A的角加速度。,列出平衡方程:,取轮A为研究对象,惯性力FIA 和惯性力偶MIA,解:取轮O为研究对象,惯性力偶矩,列出动静方程,运动学关系,轮A受力图?,例6 在图示机构中,沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体,各重为P和Q,半径均为R,绳子不可伸长,其质量不计,斜面倾角,如在鼓轮上作用一常力偶矩M,试求:圆柱体A的角加速度。,拓展:,已知:均质圆盘 纯滚动.均质杆,求:F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动的条件?,F,A,加惯性力 画受力图,a,刚好离开地面时,地面约束力为零.,研究 AB 杆,解:,研究整体,例 题7,长为l、重为W 的均质杆AB,其A端铰接在铅垂轴z上,并以匀角速绕此轴转动。求: 当杆AB与轴间的夹角60时, 的数值及铰链A处的约束力。,? 刚体作定轴转动时 (转轴与质量对称面垂直,向质量对称面与转轴交点简化),惯性力合力的大小,惯性力合力作用线通过三角形的形心,应用动静法,列平衡方程,画AB受力图,例 题7 长为l、重为W 的均质杆AB,其A端铰接在铅垂轴z上,并以匀角速绕此轴转动。求: 当杆AB与轴间的夹角60时, 的数值及铰链A处的约束力。,5.绕定轴转动刚体的轴承动反力,FIFI,FI1FI2,刚体绕定轴转动时,轴承处除有由主动力引起的约束反力外,由于刚体质量分布不均衡,还可因转动引起附加约束反力,此附加部分称为轴承附加动反力。,例8 匀速转动的传动轴上安装有两个齿轮,质量分别为m1、m2,偏心距分别为e1和e2。在图示瞬时,C1D1平行于z轴,该轴的转速是n 。求此时轴承A、B的附加动约束力。,解:研究AB轴,受力图?,根据达朗贝尔原理,附加动约束力?,例9 匀速转动的传动轴上安装有两个齿轮,质量分别为m1、m2,偏心距分别为e1和e2。在图示瞬时,C1D1平行于z轴,该轴的转速是n 。求此时轴承A、B的附加动约束力。,附加动约束力,附加动约束力如何消除?,惯性力自身成为平衡力系,例10 图示装有圆盘的轴可绕水平轴转动。已知:两个质点的质量分别为m10.5kg、m21kg。圆盘的厚度为2cm。密度为7.8103kg/m3, ce9cm,b18cm。为了动平衡,在盘上离轴d8cm处各钻一孔。求孔的直径d1、d2和方位角1、2。,解:研究圆盘与轴,其惯性力分别为,其中,1-18.4 2-71.6,将惯性力系向点A简化,刚体对z轴的惯性积,xc,yc为质心在所选坐标系中的坐标,应用达朗伯原理列写平衡方程。设刚体上作用有若干主动力Fi,若附加动反力为零,转轴必须通过转动刚体的质心,且刚体对该轴的惯性积为零时刚体(转子)是平衡的。,物理意义?,惯性力自身成为平衡力系,若附加动反力为零,转轴必须通过转动刚体的质心,且刚体对该轴的惯性积为零时刚体(转子)是平衡的。,刚体的中心惯性主轴: 通过转动刚体质心,且为刚体主轴的转轴。,刚体的惯性主轴:惯性积为零的转轴。,转轴为刚体的中心惯性主轴(转轴通过转动刚体的质心,且为刚体的一根主轴)时刚体(转子)是平衡的(图(a)。 当转轴不通过质心时(图(b),产生轴承动反力,转子不平衡;由于这种不平衡可以用静力学的方法发现,故称静不平衡。 当转轴不是主轴时(图(c),转子是动不平衡的,因为这种不平衡必须通过转动发现。借助动平衡机,用在转子上钻孔的方法改变刚体质量的分布,可以使转子成为动平衡的(图(d)、(e)。,习题 6-16,习题要求,1)基本公式要列明;,2)分别画出运动状态参量图和受力图;,1. 刚体作平动时(向质心简化),2. 刚体作定轴转动时 转轴与质量对称面垂直,向质量对称面与转轴交点简化,写出刚体做以下运动时,各惯性力系的简化结果:,3. 刚体作平面运动时 设运动平行于质量对称面、向质心C简化,质点系的达朗伯原理,作用于质点系上的主动力系,约束力系和惯性力系 在形式上组成平衡力系。质点系的达朗伯原理,复习总结,平衡方程, Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0, Mx = 0 My = 0 Mz = 0,根据质点系的达朗伯原理,可将动力学问题在形式上化成静力学问题,用静力学的方法求解动力学问题动静法。 求解惯性力就是求解运动;求解FN就是求解未知的约束力(包括动反力)。,动静法,在用动静法解题时,应充分运用静力学的解题技巧:,让某些未知力通过某个矩心; 某些未知力垂直某个投影轴; 避免某些未知量在平衡方程中出现,争取一个方程求解一个未知数等。,刚体作平动时(向质心简化),刚体作定轴转动时 (转轴与质量对称面垂直,向质量对称面与转轴交点简化),常见运动惯性力的简化结果:,刚体作平面运动时 (设运动平行于质量对称面、向质心C简化),简单物体的转动惯量,平行移轴公式,均质圆盘,P173 均质物体的转动惯量,例11 已知:均质杆AB的质量为m,球铰链A和绳子BC与铅垂轴OD相连,绳子的重量略去不计,小环可沿轴滑动,如图示。设ACBCl,CDOAl/2,匀角速度为,求绳子的张力、铰链A的约束力及轴承O、D的附加动约束力。,解:研究AB杆 ,画受力图,作用点在距A点(2/3)处,以整体为研究对象,作受力图,求惯性力,由达朗贝尔原理,例 11 已知:均质杆AB的质量为m,球铰链A和绳子BC与铅垂轴OD相连,绳子的重量略去不计,小环可沿轴滑动,如图示。设ACBCl,CDOAl/2,匀角速度为,求绳子的张力、铰链A的约束力及轴承O、D的附加动约束力。,FOymg,附加动约束力,以整体为研究对象,例12 在悬臂梁AB的B端装有质量为mB、半径为r的均质鼓轮,如图示,一主动力偶,其矩为M,作用于鼓轮以提升质量为mC的物体。设AB =l,梁和绳子的自重都略去不计。求A处的约束力。,解:研究鼓轮及物块mc,根据达朗贝尔原理,鼓轮角加速度为 =a/r,惯性力分别为,?鼓轮及物块mc受力图,整体受力图 ?,例12 在悬臂梁AB的B端装有质量为mB、半径为r的均质鼓轮,如图示,一主动力偶,其矩为M,作用于鼓轮以提升质量为mC的物体。设AB =l,梁和绳子的自重都略去不计。求A处的约束力。,研究整体,惯性力? 受力图 ?,例13:,运动分析:,平衡方程:,例 题14 匀质细杆悬挂如图,已知:杆的质量为m,长为2L,绳长为L,在运动过程中,绳始终张紧,并且A端以匀速率运动。试用动静法求在 图示位置时,作用在杆上的力偶矩M的大小及两绳的张力。,加惯性力,作受力图,TB,c,Fgcx,Fgcy,Mgc,A,B,匀质细杆悬挂如图,已知:杆的质量为m,长为2L,绳长为L,在运动过程中,绳始终张紧,并且A端以匀速率运动。试用动静法求在 图示位置时,作用在杆上的力偶矩M的大小及两绳的张力。,P,aA,aBn,aBt,aA,aBAt,aBAn,aA,aCAt,aCAn,运动分析,1.以A为基点研究B ,确定,2.以A为基点研究C ,确定aC,运动分析,以A为基点研究B,(逆时针),以A为基点研究C,加惯性力,作受力图,TB,c,Fgcx,Fgcy,Mgc,A,B,(逆时针),列平衡方程,求未知力:,在图示系统中,已知:匀质圆盘重为Q,半径为R,平板重为P,圆盘与平板间无相对滑动,板放在 的光滑斜面上,圆盘与 的斜面之间有滑动,其动滑动摩擦系数为 。试求:(1)圆盘的角加速度;(2)平板沿斜面即将脱离圆盘时的速度,若系统在AC=L位置由静止开始进入运动。,例 题15,运动分析:,板AC:平动 圆盘O:定轴转动,受力分析:,对于整个系统:平面一般力系,三个独立平衡方程,四个未知数: 、NB(或FB)、NA、NA的作用点。,在图示系统中,已知:匀质圆盘重为Q,半径为R,平板重为P,圆盘与平板间无相对滑动,板放在 的光滑斜面上,圆盘与 的斜面之间有滑动,其动滑动摩擦系数为 。试求:(1)圆盘的角加速度;(2)平板沿斜面即将脱离圆盘时的速度,若系统在AC=L位置由静止开始进入运动。,解:系统,圆盘,1.运动分析:,2.受力分析:,例 题16,附加动反力。,受力分析:,DE杆:,BD杆:,附加动反力。,运动分析,加惯性力、作受力图,例 题17,a,真题(2011) 图示匀质圆环在铅垂
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