多维随机变量的分布.ppt

第三章,多维随机变量及其分布,到目前为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.,飞机的重心在空中的位置是,但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而,需要用几个随机变量来描述.,如: 在打靶时, 命中点的位置是,由一对随机变量(两个坐标)来确定的.,由三个随机变量(三个坐标）来,确定的等等.,因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量.,其处理思路及方法与一维情形相同, 但形式较一维,复杂; 学习时应注意与一维情形的对照.,设 为试验 E 的样本空间, 若对 中,的任一基本事件 e , 都有惟一确定的 n 个实数,X1(e) , , Xn(e)与之对应, 则叫 (X1(e) , , Xn(e),由于从二维推广到多维一般没有实质性的困难,定义:,为 n 维随机变量, 简记为 (X1 , , Xn ).,我们重点讨论二维随机变量 .,二维随机变量一般用 ( X, Y ) 来表示 .,1 二维随机变量的联合分布与边缘分布,一、X与 Y 的联合分布函数及边缘分布函数,二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数为,也叫 X与 Y 的联合分布函数.,几何表示: F (x, y) 为随机点 (X, Y ),落在 xoy 面中区域,内的概率.,( X, Y ) 的分布函数具有:,等性质.,在二维随机变量( X , Y ) 中,X 的分布函数称为( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数,Y 的分布函数称为( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布函数;,由联合分布函数可确定边缘分布函数, 对此有:,关于 X 的边缘分布函数为,关于 Y 的边缘分布函数为,进一步可定义 n 维随机变量 (X1 , , Xn )的分布函数:,及关于 Xi ( i = 1, , n ) 的边缘分布函数:,二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律,设 ( X, Y ）为二维离散型随机变量，称,为 ( X, Y ) 的分布律，或 X与 Y 的联合分布律.,( X, Y ) 的分布律的性质:,可列表表示:,(1) 非负性,(2) 归一性,在二维离散型随机变量( X , Y ) 中, 称,X 的分布律为( X , Y ) 关于 X 的边缘分布律,Y 的分布律为( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布律;,由联合分布律可确定边缘分布律, 对此有:,关于 X 的边缘分布律为,关于 Y 的边缘分布律为,注意两个边缘分布 正好是表中列和与行和,三、二维连续型随机变量的概率密度与边缘概率密度,对二维连续型随机变量( X, Y )有:,f (x, y) 称为 ( X, Y ) 的概率密度,即: 随机点 (X, Y ) 落在区域,内的概率,为 f (x, y)在该区域上的积分.,或称为 X与Y 的联合概率密度.,f (x, y) 为 ( X, Y ) 的概率密度, 则,(1)非负性,(2)归一性,概率密度的性质:,(3)对 xoy 面上的任一区域 G,(4)在 f (x, y) 的连续点上,在二维连续型随机变量( X , Y ) 中,X 的概率密度称为( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度,Y 的概率密度称为( X , Y ) 关于 Y 的边缘概率密度;,由联合概率密度可确定边缘概率密度, 对此有:,关于 X 的边缘概率密度为,关于 Y 的边缘概率密度为,因为,解:,(1) 依据分布函数的性质可得:,(2),故,解:,(1) 由归一性可得:,故,解:,解:,四、两个常见的二维连续型随机变量的分布,(一) 均匀分布,设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A; 若二维随机变量,（ X,Y）的概率密度为,则称（X, Y）在G上服从均匀分布.,例如: 向平面上有界区域 G 上任投一质点，若质点落在 G,内任一小区域 B 的概率与小区域的面积成正比，而与 B 的,形状及位置无关. 则质点的坐标 (X, Y ) 在 G 上服从均匀分布.,(二) 二维正态分布,若二维随机变量（X,Y）的概率密度为,则称（X, Y）服从参数为,的二维正态分布.,记作 (X, Y ) ,可以证明: 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,则,若 (X, Y ) ,注意: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.,4 随机变量的独立性,它表明: 两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数,等于两个边缘分布函数的乘积.,用分布函数表示即:,可由事件的独立性引入随机变量的独立性, 它是概率论中,的一个重要概念.,定义: 若对任意的 x, y 都有,则叫随机变量 X与 Y 相互独立.,对二维离散型随机变量 ( X, Y ):,对