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文档简介

第一节 不定积分的概念,本节要点,本节通过原函数引出了不定积分的概念, 并得到不定,一、原函数与不定积分,二、不定积分的计算,积分的简单性质.,一、原函数与不定积分,1.原函数,在第二章中曾提出在已知 求 的求,导问题, 而现在的问题是 已知, 求满足,的,这类问题就是求原函数问题.,即对任一 都有,定义 如果在区间 上的可导函数 的导函数为,或,则称函数 为 在区间 上的一个原函数.,例1 函数 的一个原函数为,又如,这是因为,故, 的原函数为,我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函,数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,我们有下面结论.,间 上存在可导函数 使得对任一 都有,即连续函数一定有原函数存在.,惟一性定理,如果 是 的原函数, 则,也是 的原函数.其中 为任意常数; 并且 的,原函数一定可写成 的形式.,2.不定积分,由上面的讨论, 可得到如下定义.,定义 在区间 上, 函数 的带有任意常数的原函数,称为 在区间 上的不定积分, 记作,即 , 其中 是 的原函数.,例2 由定义, 不难得到下面这些函数的不定积分.,为连续函数, 但其原函数却不能用初等函数来表示;,注3 在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数,注2 定义在区间 上的连续函数一定存在原函数, 但原,注1 在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉, 否,则意义将完全改变;,函数不一定能用初等函数来表示. 例如函数,例如函数:,存在间断点 ，但 在 存在原函数,解 设此曲线的方程为 由题设得关系,即, 是 的一个原函数, 因 且曲,等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,故所求曲线的方程为,例3 设曲线通过点 且其上任一点处的切线斜率,线过 代入曲线方程得,对例3的说明: 函数 的原函数的图形称为 积分,曲线. 当常数 取不同值时, 曲线为平行曲线. 因而通,过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线.,3.基本积分公式,二、不定积分的计算,由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的,性质.,不定积分的性质,性质1,性质2 设函数 及 的原函数存在, 则,其中 为任意常数.,积分举例,例4 求积分,解 先将 展开, 然后再利用积分公式及运算法,则, 得,例5 求积分,解,例6 求积分,解 将积分拆成两项的和, 可得,例7 求积分,解 分子部分减1加1, 再分解被积表达式, 得,例8 求积分,解 利用三角公式
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