同济大学微积分第三版课件第二章第六节.ppt

第六节 微分中值定理,本节要点,本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定,一、费马引理,二、罗尔定理,三、拉格朗日中值定理,四、柯西中值定理,理:,一、费马引理,首先, 让我们来观察这样一个几何事实. 如图所示:,我们看到在曲线弧的最高点 或最低点处,的横坐标为 则有,连续曲线弧 是函数 的图形, 如果,曲线有水平切线. 若记点,进一步观察,当 时, 又看到在曲线弧,上, 至少有一点 弧 在该点处的切线 平行于弦,由此启发我们考虑这样一个,又切线 的斜率是 以 记 的横坐,标, 则有,理论上的问题: 设,是否存在,使等式,成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论. 为讨论,方便, 先引入费马引理, 该引理本身在微分学中也很重,要.,则:,或,证: 不妨设 时, 有,引理（费马引理）,设函数 在点 的某邻域,内有定义并在 处可导, 若对任意的 有,故当,有,当 时,当 时,由函数 在点 处的可导性及极限的保号性, 得,由此得到,注 通常称导数为零的点为函数的驻点.,该引理说明: 可导函数的极值点为驻点.,二、罗尔定理,罗尔定理 设函数 且,证 因 故 必在 上取到最大值 与,最小值 若 有,若 那么 与 中至少有一个不等于 不妨设,则存在 使得,注1 罗尔定理的几何意义,因 故 由此存在,注2 罗尔定理的简单表达式,使得 因 存在, 由费马引理,得,例1 对函数 在区间 上验证罗,尔定理的正确性.,证 在区间 上, 函数 为初等函,数因而连续, 可导. 又,条件满足. 因,故定理的结论成立.,故定理,从而对函数 及区间 罗尔定理是正确的.,例2 设实数 满足方程,证明方程,在区间 中可解.,证 令,则 且,所以由罗尔定理, 在区间 中存在 使得,又:,故方程在所给区间中可解.,三、拉格朗日中值定理,证 为引用罗尔定理, 构造函数,拉格朗日中值定理 设函数,那么至少存在一点 使得,则,或,即,且函数 满足罗尔定理的条件, 由此存在,使得,注1 拉格朗日中值定理的几何描述,公式称为微分中值公式.,注2 当 时, 上式仍然成立, 即,3.若 在区间 中点点可导, 当,因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画.,时, 有,例3 设函数,形, 在同一平面上作出过点 的割线, 并作,割线的斜率为:,为求切点的 坐标, 求解方程:,所以, 割线方程:,即:,相应的切线.,画出曲线在 中的图,得,由此得相应切点坐标,故而切线方程为:,切线,割线,切点,注意 微分中值定理给出的是“ ”的存在性, 而并没有,指出它究竟取哪一个值. 对不同的函数, 对不同的区间,“ ”的取值可能是完全不同的. 这一点, 在讨论问题时特,别要注意.,我们知道, 若函数为常数, 则其导数为零; 作为该定理,在 内是一个常数.,定理 如果函数 在区间 内的导数恒为零, 那么,的应用, 我们导出如下事实: 若函数的导数恒为零, 则该,函数必为常数.,证 在区间 内任取两点 （不妨设 ）, 则由,公式:,由条件知,意性, 得 为常数.,由 的任,因,因此,例4 证明: 当 时, 有,证 取 , 则在区间 中, 满,足定理的条件, 因而有,因而上式为,代入上式, 便得,即有,例5 证明: 当 时,证 因 , 故在区间 ( )上对,函数 使用拉格朗日中值定理 使得,例6 设函数 的导函数在 内恒为常数, 则,证 设在区间 内 , 令,则,由此得到： ，令其为 . 即有,为线性函数.,四、柯西中值定理,证 由于,定理 如果函数 在闭区间 上连续,在开区间 内可导, 并且在开区间 内,那么至少存在一点 使得,左边的分式有意义. 为使用拉格朗日中值定理, 构造辅,助函数:,因而上式,由此得到公式.,则, 易证函数 满足罗尔定理的条件, 从而至少存在一,点 使得 即,注1 柯西中值定理可简单地表示为,注2 容易看出, 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当,的特殊情况.,例7 对函数,上验证柯西中值定理的正确性.,证 函数 在区间 上连续, 可导, 且,即满足定理的条,件, 现求 使得,在区间,因,又由于 令,得,所以,从而,成立, 故对 上的函数 柯西中值定理,是正确的.,例8 在 上分别就拉格朗日中,值定理, 柯西中值定理, 计算相应的,解 先考虑 就拉格朗日中值定理计算相应的 由,得,再考虑 求相应的,同样得到,最后对函数 就柯西中值定理来求相应的,即:,得,由关系式,本例说明若函数满足中值定理的条件, 则适合中值定,理结论中的 是存在的, 但对不同的函数或同一函数在,不同的区间, 所得到的 可能是不同的. 所以对柯西中,值定理中的中值等式 使得,不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商.,例9 设函数 在区间 内有二阶导数.且,其中,点 使得,证 由条件所设知函数 在区间 满,证明: 在 至少存在一,足罗尔定理的条件, 故在区间 分别存在,使得,又