向量的距离与夹角余弦.ppt

,第一讲 矩阵的基本运算,第二讲 向量的距离与夹角余弦,第三讲 数据的属性与处理方法,第二讲 向量的距离与夹角余弦,1.3 向量的距离与夹角余弦,1.4 线性方程组AX=b的求解,1. 向量的数量积，矢量积,例如：a=1,2,3, b=-1,5,6,c=1,0,1则,Matlab 中数量积:dot(a,b);矢量积:cross(a,b),dot(a,b)=27, cross(a,c)=(2,2,-2),解： a,b,c 的混合积为：dot(a,cross(b,c),练习：计算a,b,c 的混合积,三、 向量的距离与夹角余弦,1）Matlab 中向量 a 的范数为：norm(a),例1 a=1,2,3, b=-1,5,6,c=1,0,1, 求a,b的范数,解：norm(a)= 3.7417 , norm(b)=7.8740,练习：对例1计算：a,b夹角的余弦,=0.9164,思考：a,b,c三个向量那两个更接近？,事实上，范数的平方=向量 a自身的数量积,三、 向量的距离与夹角余弦,2.矩阵的范数与向量的标准化,如例1 a=1,2,3, b=-1,5,6,c=1,0,1, 求a,b ,c之间的夹角余弦,解：输入:A=a;b;c; B=1-pdist(A, cosine),输出结果为:B = 0.9164 0.7559 0.4490,三、 向量的距离与夹角余弦,计算向量之间夹角的余弦还可以用命令:,B=1-pdist(A,cosine),计算矩阵A的行向量之间的夹角余弦,2) 矩阵的范数有以下几种：,(1) n = norm(A) 矩阵A的普范数(2范数), = AA的最大特征值的算术根 . (2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数） 等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷大范数) 等于A的最大行之和. (4)n = norm(A, fro ) 矩阵A的Frobenius范数.,记为：,三、 向量的距离与夹角余弦,3) 方阵的谱半径： 方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的谱半径 记为：,例3.求矩阵 的谱半径,由eig(A)知矩阵A的特征值分别为1,-2,1。,三、 向量的距离与夹角余弦,例3. 将矩阵 的行向量与列向量标准化,解：A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;B=normr(A)，C=normc(A),也可以输入命令：,b(1)=norm(A(1,:); b(2)=norm(A(2,:); b(3)=norm(A(3,:); c=b*ones(1,3); B=A./c,4）矩阵的行向量、列向量标准化的命令：,normr(A)，normc(A),（normr(A)表示将矩阵每一行除以该行的范数）,什么意思?,求出A矩阵个各行的范数,转置后变为3*1阶矩阵,三、 向量的距离与夹角余弦,n维欧氏空间:设 表示n维向量 的全体所组成的集合，称为n维欧氏空间,称为 与 的欧氏距离,称为 与 的绝对距离,如果,三、 向量的距离与夹角余弦,2.常见的向量距离,闵可夫斯基距离：,当 r=1,2 时分别为绝对距离和欧氏距离,马氏距离：,其中 V是一个实对称正定矩阵，通常取样本的协方差矩阵，当V=E时即为欧氏距离.,以上距离，在Matlab (6.)中有命令: pdist,具体如下：,三、 向量的距离与夹角余弦,(1)欧氏距离：,如果A是am阶矩阵,B是m b 阶矩阵.即A的行向量维数等于B的列向量维数,三、 向量的距离与夹角余弦,dist(A,B)结果是一个a b 阶上三角形矩阵d(i, j)表示A的第i个行向量与B的第j个列向量之间欧氏距离,Matlab中命令：dist(A,B)计算A中每个行向量与B中每个列向量之间欧氏距离,例4. a=1,2,3,b=-1,5,6,c=1,0,1求a,b,c欧氏距离,解:输入:a1=dist(a,b),a2=dist(a,c),a3=dist(c,b),或者输入:A=a;b;c;pdist(A),三、 向量的距离与夹角余弦,Pdist(X) 样本X中各n维向量的欧氏距离,如果X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：,注意： 而pdist(X)是个一行 列 矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m),(2)绝对距离：,Matlab中命令：mandist(A,B)计算A中每个行向量与B中每个列向量之间绝对距离，A的行向量维数必须等于B的列向量维数.,三、 向量的距离与夹角余弦,设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：,Pdist(X, cityblock) 各n维向量的绝对距离,注意： 而pdist(X)是个一行 列 矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m),例5. 求例2中向量之间的绝对距离.,dist(a,b)=4.6904, dist(a,c)= 2.8284 dist(c,b)= 7.3485,还可以用什么命令?,你发现了什么？,三、 向量的距离与夹角余弦,与绝对距离比较,设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：,Pdist(X, Minkowski，r) 闵可夫斯基距离,Pdist(X, mahal) 各n维向量的马氏距离,注意： 而pdist(X)是个一行 列 矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m),三、 向量的距离与夹角余弦,(3)闵可夫斯基距离与马氏距离,例6. 现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长,翅长数据如下：Apf：(1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20,1.86), (1.26,2.00), (1.28,2.00), (1.30,1.96) Af：(1.24,1.72), (1.36,1.74), (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38,1.90), (1.40,1.70), (1.48,1.82),(1.54,1.82), (1.56,2.08),计算两类蠓虫的各自之间的欧氏、绝对、马氏距离,解:输入,Af=1.24,1.72;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82; 1.38,1.90 ; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08；,Apf=1.14,1.78;1.18,1.96;1.2,1.86;1.26,2.;1.28,2; 1.30,1.96 ;,三、 向量的距离与夹角余弦,d1=(pdist(Apf); d2=(pdist(Apf,cityblock); d3=pdist(Apf,mahal);,d=d1,d2,d3,输出结果为Apf蠓虫之间的各类距离为含有15个元素的列向量,将输出结果变化为15行3列的矩阵,结果见表1,同理可以求得Af蠓虫之间的各类距离。结果见表2,三、 向量的距离与夹角余弦,表一.Apf蠓虫之间的距离,表二.Af蠓虫之间的距离,在Matlab中经常遇到下列运算：,A=1,2 ; 3,4,若将A中每个元素都减去2，如何运算？,A=1,2;3,4,若将A的每一行都减去向量(1,2)如何运算？,前者可以进行，后者不行，如何实现 ?,通过特殊矩阵将加减运算变为可以进行的运算.,3.特殊矩阵及其应用,A-2可否？,A-(1,2)可否？,三、 向量的距离与夹角余弦,E = eye(n):,例如：eye(3)=,2. A = ones(n,m)：表示元素全为1的nm矩阵,4. A = rand(n,m):产生nm维随机矩阵（元素在01之间）,特殊矩阵有：,3. A = zeros(n,m)：产生nm维零矩阵,三、 向量的距离与夹角余弦,表示n维单位矩阵, E = eye(m,n): 表示主对角元素为1,其余元素为零的 矩阵.,A=1,2,3;4,5,6;7,8,0,如何实现各列元素分别减去该列的均值？,解：输入,A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;,B=ones(3,1)*mean(A),例如：,C=A -B,三、 向量的距离与夹角余弦,例7. 下表是全国5个主要湖泊的实测数据,试用矩阵A表示上表所示的矩阵， 2.计算每个指标与该指标平均值之差的绝对值.,三、 向量的距离与夹角余弦,解:输入A=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2; 20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;,mean(A) %A矩阵列向量(各指标)的平均值,生成一个54阶的矩阵B，各行都是mean(A):,B=ones(5,1)*mean(A),为什么？怎样生成?,然后得到所求矩阵C= abs(A-B),(A矩阵是一个14阶的矩阵.),三、 向量的距离与夹角余弦,mean(A)=61.0000 7.7580 1.2000 1.3760,输出结果为：,C= 69.0000 2.5420 0.8500 1.3840 44.0000 2.9420 0.8000 0.6240 41.0000 6.3580 3.3000 1.1560 31.0000 1.4980 0.9500 0.2940 41.0000 2.3720 0.7000 1.1460,三、 向量的距离与夹角余弦,生成一个54的矩阵B，各行都是mean(A)还有如下方法 ：,B=a(ones(5,1),:)，其中 a=mean(A),练习：将各指标与该指标的最大值相减，然后再比上该指标的极差.,提示：max(A):表示矩阵A中各列向量的最大值； min(A):表示矩阵A中各列向量的最小值； range(A)= max(A)- min(A):表示各列极差.,三、 向量的距离与夹角余弦,A=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5, 0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23; B=ones(5,1)*max(A), C=max(A)-min(A) D=C(ones(5,1),:) (A-B)./D,ans =0 -0.0430 -0.9765 0 -0.2273 0 -0.9647 -0.2992 -1.0000 -1.0000 0 -1.0000 -0.9091 -0.4774 -1.0000 -0.4291 -1.0000 -0.0613 -0.9412 -0.9961,三、 向量的距离与夹角余弦,Matlab中Z =null(A,r)就是求AX=0的基础解系，其中 Z的列向量即为所求基础解系,例8. 求方程组的通解：,format rat %指定有理式格式输出 Z=null(A,r) %求解空间的有理基,解：输入A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;,1. 求齐次线性方程组AX=0的非零解,四、线性方程组AX=b的求解,即原方程的基础解系为（2，-2，1，0）和（5/3，-4/3，0，1）,Z =2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1,输出结果为：,故所求通解为：,四、线性方程组AX=b的求解,1).若矩阵A可逆，则 X=Ab,解：A=2,3,5;3,6,8;6,5,4; b=12;34;43; det(A)=-29, 矩阵A可逆，于是 X=Ab,也可以输入 X=inv(A)*b,结果为 X = 0.2759 12.3793 -5.1379,四、线性方程组AX=b的求解,2. 求非齐次线性方程组AX= b的非零解,2)化成行简化阶梯形求AX=b的解Matlab中的命令为：,C=A,b %增广矩阵C. D=rref(C) %将C化成行最简化阶梯形 则D 的最后一列元素就是所求的解.,例10 . 求例9中线性方程组AX=b的解,解:输入: C=A,b ； D=rref(C) ；,输出结果为D =1 0 0 0.2759 0 1 0 12.3793 0 0 1 -5.1379,四、线性方程组AX=b的求解,已学的MATLAB命令一览表,已学的MATLAB命令一览表,作业：,1.求矩阵A的各种范数、谱半径,2.A中各行向量夹角余弦、及各种距离，判别那两行最接近,3.将A的各元素减去各行的均值再比上各列的方差,4.,计算矩阵C的各行向量的相关系数矩阵R，再将R的列向量单位化，求CX=0的基础解系,作业,1.A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;V,B=eig(A) %特征值 n2=norm(A,2) % 2范数 n1=norm(A,1) % 1范数 n3=norm(A,inf) % 无穷范数 n4=norm(A,fro) % f 范数,V = -0.2998 -0.7471 -0.2763 -0.7075 0.6582 -0.3884 -0.6400 -0.0931 0.8791 B = 12.1229 0 0 0 -0.3884 0 0 0 -5.7345,n2 = 13.2015 n1 = 15 n3 = 15 n4 = 14.2829,作业,2.B=normr(A); %单位化 a12=dot(B(1,:),B(2,:) %夹角余弦 a13=dot(B(1,:),B(3,:) a23=dot(B(2,:),B(3,:),a12 = 0.9746 a13 = 0.5783 a23 = 0.7290,Pdist(A)