正态分布及抽样误差.ppt

正态分布及其应用,Normal distribution and its applications 统计学中最重要的理论分布之一,正态分布(Normal distribution),法国概率论学者狄莫弗 德国数学家Gauss 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution,2,3,4,为什么如此摆放奖品？ 平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。,高尔顿钉板试验,正态分布的背景一个街头赌博游戏,5,O,这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。,正态分布的背景高尔顿钉板试验,6,124,132,140,148,156,164,0,0.10,0.20,0.30,0.40,频率,图 某市120名12岁男童身高(cm)的频数分布,组 段 频 数 频 率 124 1 0.0083 128 2 0.0167 132 10 0.0833 136 22 0.1834 140 37 0.3083 144 26 0.2167 148 15 0.1250 152 4 0.0333 156 2 0.0167 160164 1 0.0083 合 计 120 1.0000,7,极差=160.9-125.9=35 分10组，组距=极差/10=35/10=3.5，组距取 4 下界 124 ，上界164,8,身高的分布,正态分布的概率密度函数,如果随机变量X的概率密度函数 则称X服从正态分布,记作XN(,2),其中， 为分布的均数， 为分布的标准差。,(- X +),正态分布图示,x,0,.1,.2,.3,.4,f(x),方差相等、均数不等的正态分布图示,均数相等、方差不等的正态分布图示,1,正态分布的特征,正态分布有两个参数(parameter)，即位置参数(均数)和变异度参数(标准差)。 高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。,正态曲线下的面积规律,X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。,S(-, -X),S( +X,)S(-, -X),X,正态曲线下的面积规律,对称区域面积相等。,S(-x1, -x2),-x1 -x2 x2 x1,S(x1,x2)=S(-x2,-x1),正态曲线下的面积规律,-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4,-3 -2 - + +2 +3,S(-, -3)=0.0013,S(-, -2)=0.0228,S(-, -1)=0.1587,S(-, )=0.5,S(-, +3)=0.9987,S(-, +2)=0.9772,S(-, +1)=0.8413,S(-, )=1,正态曲线下的面积规律,-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4,-3 -2 - + +2 +3,1-S(-3 , +3)=0.0026,1-S(-2 , +2)=0.0456,1-S(- , +)=0.3174,正态曲线下的面积规律,-3 -2 - + +2 +3,S(-, -3)=0.0013 S(-, -2)=0.0228 S(-, -1)=0.1587 S(-, -0)=0.5,S(-3, -2)=0.0215 S(-2, -1)=0.1359 S(-1, )=0.3413,-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4,正态曲线下的面积规律,-1.96,+1.96,2.5%,2.5%,95%,正态曲线下的面积规律,正态曲线下的面积规律,-2.58,+2.58,0.5%,0.5%,99%,S(-1.96, +1.64)=?,思考,正态曲线下的面积规律,正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； -1.64 +1.64内面积为90%； -1.96 +1.96内面积为95%； -2.58 +2.58内面积为99%。 小于-3的面积为 0.13%; 小于-2的面积为 2.28%; 小于- 的面积为15.87%。,标准正态分布,标准正态分布(standard normal distribution)是均数为0，标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：,(- u +),正态分布转换为标准正态分布,若 XN(,2)，作变换： 则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate),标准正态分布曲线下面积(u),u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 -2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 -2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 -1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 -1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 -1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 -0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681,0,u,正态分布的应用,估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围,估计频数分布,某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。 首先计算标准离差： 查标准正态分布表: (-1.86)=0.0314 结果：估计低体重儿的比例为3.14%.,质量控制,质量控制的意义 监控日常工作、科研过程、生产过程中 误差的变化，分析变化的趋势是否出现异常，从而引起警觉和注意，以便分析原因，并及时采取措施。,参考值范围(reference interval),参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围： 是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。 确定参考值范围的意义： 用于判断正常与异常。 “正常人”的定义： 排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质的人群。,参考值范围确定的原则,选定同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围 单、双侧问题,单侧与双侧参考值范围,根据医学专业知识确定！ 双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 下限: 肺活量，IQ，,参考值范围的估计方法,方法 双侧 单侧下限 单侧上限 正态分布法,例,20 29岁正常成年男子尿酸浓度 求双侧95%的参考值范围： 下限 上限,总结,正态分布是描述个体变异的重要分布之一，也是统计学理论中的重要分布之一； 正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均数和标准差； 正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态离差为单位)。,需要掌握的内容,正态分布的性质 正态曲线下面积的分布规律 参考值范围确定的原则和方法,抽样误差及其规律性,Sampling variability and its attributes,从一个例子来谈抽样误差,假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。研究者从所有符合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了五次。,38,39,40,导致总体均数与样本均数、样本均数之间有差别的可能原因是？,41,抽样误差的定义,五次抽样得到了不同的结果，原因何在？,42,抽样误差的表现,43,抽样误差,定义： 由于个体变异的存在,由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差别。 原因：个体变异抽样 表现： 不同样本统计量间的差别 样本统计量与总体参数间的差别 抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！,44, ,均数的抽样误差之特点,各样本均数未必等于总体均数； 样本均数间存在差异； 样本均数的分布很有规律；,45,中心极限定理(central limit theorem),Case 1: 从正态分布总体N(,) 中随机抽样(每个样本的含量为n如10)，可得无限多个样本如1000次，每个样本计算样本均数，则样本均数也服从正态分布。 样本均数的均数为 ; 样本均数的标准差为 。,46,中心极限定理(central limit theorem),Case 2: 从非正态分布总体(均数为，方差为)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样本计算样本均数，则只要抽样次数足够大(n50),样本均数也近似服从正态分布。 样本均数的均数为 ; 样本均数的标准差为 。,47,标准误(standard error),样本统计量的标准差称为标准误。 样本均数的标准差称为均数的标准误。 均数的标准误表示样本均数的变异度。 前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。,48,这个公式是怎么来的？,已知变量x的方差V(x)=S2，则2x的方差为？ 已知变量x1的方差V(x1)=S12，变量x2的方差V(x2)=S22，则x1+x2的方差为？,49,标准误与标准差（1）,联系： 都表示变异的大小； 样本含量一定时，标准差越大，标准误越大。,标准误与标准差（2）,标准差 含义： 一组变量值离散程度； 标准差越小，均数的代表性越好； 应用： 估计参考值范围； 与n的关系：样本含量越大，标准差越稳定，n 很大时，标准差趋向于总体标准差。,标准误与标准差（3）,标准误 含义： 样本统计量的离散程度； 标准误越小，用样本均数来反映总体均数越可靠； 应用： 计算可信区间； 与n的关系： 样本含量越大，均数的标准误越小，n很大时，标准误趋向于0。,53,样本均数的抽样分布,与样本含量的关系,n 越大，均数的均数就越接近总体均数； n 越大，变异越小，分布越窄； 对称分布接近正态分布的速度，大于非对称分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含量就越大。,54,抽样误差的规律性(1),均数的抽样误差规律： 在样本含量足够大时，无论总体分布如何，其均数的分布趋于正态分布,55,56,f(t),(标准正态曲线), =3,0.1,0.2,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,0.3,如果样本含量较小时均数的抽样分布,？,t 分布,57,正态分布的标准化变化,若 X N(,2) , 则 。,58,因 , 则 。,t 分布的概念,实际工作中，总体方差未知。所以，用样本方差代替总体方差， 且当样本含量较小时 的分布如何？,59,t分布起源,60,t 分布的概念,用样本方差代替总体方差，此时 不服从正态分布。而服从 t 分布。记为：,61,62,自由度分别为1、5、 时的 t 分布,t 分布的性质,t分布为一簇单峰分布曲线。 t分布以0为中心，左右对称。 分布的高峰位置比 u 分布低，尾部高。即相同的尾部面积对应的界值，比 u 分布大。例如：P=0.05，u=1.64，而自由度为3的 t分布界值，t = 3.182。 t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低，而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是标准正态分布。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值表 。,t界值表,单侧： P(t =t,)= 双侧： P(t =t,)= 即:P(-t,t t,)= 1- 例 查t界值表得t值表达式 t 0.05,10=2.228 (双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧）,t 分布曲线下面积,双侧：t0.05,10=2.228 表明，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，由该样本计算的t值大与等于2.228的概率为0.025，小于等于 -2.228的概率亦为0.025 P(t-2.228)+P(t2.228)=0.05 或： P(-2.228t2.228)=0.95,样本统计量的抽样分布,任何一个样本统计量均有其分布规律。 从正态分布总体中抽样： 均数的抽样分布为正态分布； 样本方差的分布服从2分布； 样本方差之比服从F分布； t 值服从 t 分布； ,研究抽样分布的目的,样本统计量的抽样分布规律是统计推断(statistical inference)的理论基础。 只有了解抽样分布规律，才能深刻理解统计推断的内涵。,67,需要掌握的内容,抽样误差的概念、产生的原因及其表现 中心极限定理的涵义 标准误的涵义、标准误与标准差的区别和联系 t分布的性质,表示总体均数的标准误。( ) 表示样本均数的标准误。( ) 同一批数值变量资料的标准差不会比标准误大。( ) 即使变量X偏离正态分布，只要每次抽样的样本数足够大，样本均数也近似服从正态分布。( ),69,表示（ ） A 总体标准差 B 样本标准差 C 抽样分布均数的