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文档简介

1,第二节,向量及其线性运算,2,一、向量的概念,定义,行向量,列向量,或,3,向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、,分量全部为零的向量称为零向量，记为 。,数乘等概念完全与矩阵相同.,则,4,向量的线性运算满足以下八条运算律：,(1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g (3) a+=a (4) a+(-a)= (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb (7) (kl)a=k(la) (8) 1a=a,其中a, b, g 都是n维向量, k, l 为实数.,5,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,例1,解,其中,移项规则,6,练习：,P141 习题三,7,第三节,向量间的线性关系,8,一、向量组的线性组合,定义,如果两个向量组可以互相表出,则称等价。,9,例如, b =(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1),因为 b = 2a1-a2+a3 ,或者说 b 可由a1,a2,a3 线性表示.,即b 是 a1,a2,a3 的线性组合,10,称,为n维基本单位向量组。,11,对线性方程组,将系数矩阵A分裂成列向量,则方程组改写为,12,例1,解,13,例2,解,14,但表示法不唯一。,15,二、向量组的线性相关性,定义,16,包含零向量的向量组一定线性相关:,单个向量线性相关当且仅当它为零向量:,例3,设,有,17,定理,证,使,则,18,定理,(线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组,有(无)非零解,19,例4,解,判断下列向量组的线性相关性:,线性相关.,20,解,线性无关.,注意,(1) 写为列向量, 拼成矩阵；,(2) 只作行变换。,21,推论,线性相关(线性无关)的充分必要条件是行列式,n维基本单位向量组,线性无关,22,例5,证,23,例6,证,必线性相关。,用矩阵形式，,24,有非零解，比如,25,定理,证,26,定理,证,再证表法唯一。,设有两种表示法，,即表法唯一。,27,线性相关性的性质,(1) 如果向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。,等价命题:,如果一个向量组线性无关, 则其任一部分组,线性无关.,线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关;,线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关.,28,可以推广到添多个分量的情形.,等价命题:,线性相关的向量组各去掉一个(或几个),分量所得向量组仍线性相关。,证,29,(3) 向量组的个数如果多于维数, 则必线性相关。,齐次线性方程组,未知量个数多于方程个数，,必有非零解，,线性相关(线性无关)的充分必要条件是行列式,30,由上述推论知，,证略.,推
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