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文档简介
第一讲 二重积分的概念与性质,内容提要 二重积分的概念与性质 教学要求 1. 理解二重积分的意义与性质; 2. 掌握二重积分的概念与性质。,曲顶为平顶.,求曲顶柱体的体积 V =?,曲顶柱体的体积,一、实例,曲顶柱体:,例如,曲顶柱体体积 V 求法如下:,(1)分割:,分别以这些,小区域的边界曲 线为准线,,(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值:,(3)求近似和:,(4)取极限:,求平面薄片的质量,求法步骤如下:,(1)分割:,且表示该区域的面积。,(2)求近似:,(3)求和:,将求得的 n 个小薄片质量相加,,便得到整个薄片质量 M 的近似值:,(4)求极限:,将区域 D 无限细分,,和式的极限就是薄片的质量,抽去上述两个问题的实际意义,归纳它们的 相同点,给予定义如下:,二、二重积分的概念,定义:,如果当各,小区域直径最大值,此和式的极限存在,,则称此,极限值为函数,二重积分中各种符号的称呼:,由二重积分定义,可以得出:,曲顶柱体的体积 V,平面薄片的质量 M,对二重积分定义的说明:,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时,二重积分是曲顶柱体的体积,当被积函数小于零时,二重积分是曲顶柱体的 体积的负值,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D,如右图。,故二重积分(在直角坐标系下)可写为,即面微积元为,在二重积分的定义中,对区域 D 的划分是任意的,,因此,可对区域 D 进行特殊 划分,,这样面积微元 可以 记作 ,如图,三、二重积分的性质,性质,当 为常数时,,性质,(二重积分与定积分有类似的性质),常数可以提到积分号之外。,性质,(对区域具有可加性),性质,(如图1),性质,若在D上,则有,性质,(二重积分估值不等式),特殊地,所以,性质,(二重积分中值定理),性质的几何意义是:,解,故,解,解,故,1. 二重积分的定义,3. 二重积分的性质(7个性质),2. 二重积分的几
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