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文档简介

6-8 隐函数存在定理,y=f(x)形式的函数称为显函数. 由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.,由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数,由方程组,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,1. 一个方程的情况,定理1,设 在一点 的邻域内有定义.且满足下列条件:,则在 的某个邻域 内存在一个 函数y=f(x) , 使得 且,并且 内有连续的导函数,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解 令,连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,定理2,设 在点 的某邻域内有连续的偏导数, 且,且 有连续偏导数:,则在点 的某个邻域内,方程 唯一确定一个隐函数 满足,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例2,解法1,利用公式.,令,则,解法2 利用隐函数求导,方程两端关于x求偏导，得,方程两端关于y求偏导，得,说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作x,y的函数：z=z(x,y).,例3 求由方程,解,设u=x-y,v=y-z.,为了方便起见,引入记号,2. 方程组的情况,可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?,先介绍线性代数中的克莱姆法则,二元一次方程组,我们的问题相当于解方程组,方程组有惟一解,当F及G 是一般函数时，需要下列条件,行列式称作F,G的雅可比行列式.,定理3,在点 的一个邻域内存在唯一的一对可微函数 使得 且满足方程组,的导函数由下列方程组求出,证明略,定理3的推广,考虑方程组：,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,故得,系数行列式,同样可得,例4 由方程组,能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求,解,方程组两边对 x 求导，并移项得,方程组两边对 x 求导，并移项得,用克莱姆法则解方程组,方程组两边对 y 求导，并移项得,解得,解以 为未知数的方程组，得,补例,解,内容小结,1. 隐函数( 组) 存在定理,2. 隐函数 ( 组) 求导方法,方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;,方法2. 利用微分形式不变性 ;,方法3. 代公式,思考与练习,设,求,提示:,解法2. 利用全微分形
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