高等数学北大第二版61多元函数.ppt

推广,第六章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分学,6-1 多元函数,1.多元函数的概念,引例:,一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的 函数:,在这里c是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数.,多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组， 如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点.当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到 实 数域R 的一个映射（如图）. 同样地，一个三元函数实 质上就是三维空间中某个点集合到实数 域R 的一个映射.,相等同,相等同,相等同,点集 D 称为函数f的定义域 ;,全体函数值的集合：,称为函数f的值域 .,自变量，,而把u称作因变量.,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,例1, 二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面.,多元函数的定义域及图形.,函数zln(xy)的定义域为 (x y)|xy0,函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x y)|x2y21,例2,补例 三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,2. 中的集合到 的映射,一般化就是,例3 平面曲线的参数方程,但是,与函数,不同，对于每一个,而应是,例4 平面上的坐标变换,第j个分量.,中的点 到 的距离,定义为,它满足下列条件：,当且仅当 时等号成立；,在数轴 上,在平面 中,在空间 中,3. 中距离、邻域及开集,回忆一维空间中点的邻域概念,利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间,定义,设 为给定的一点, 是给定 的正数, 定义 点的 邻域是集合,O,x,y,z,.,下面我们来定义开集及区域的概念,边界点,内点,外点,设 是一个给定的集合，点 ：,(1)若存在一个正数 使得 则称 是 的内点,点 是 的边界点 对于任意的正数 , 点 的 邻域 中既有 中的点又有非 中的点,边界点不一定属于集合！,用 表示集合E 的全体边界点的集合.,其中a0,b0是常数，则原点（0,0)是R 的一个内点，点,（a,b)是边界点，,点（2a,2b)是一外点.,更一般地说,集合R,内的每一点都是其内点,而它四条边上的每一点都是边 界点，而矩形之外(不含边)任意一点都是外点.,例 6 设 是带边的矩形,其中a0,b0是常数.,显然，在 中 与例5中R有相同的内点、外点及边界 点. 区别于R 的地方是 包含全部边界点.,根据定义很容易看出，一个集合E 的全部内点都包含 于E 的内部，而 E 的全部外点都不含于E 之中. 对于E 的 一个边界点则有两种可能，或者包含于E ，或者不包含 于E .,补例 设平面点集,开集：,闭集：,集合 的每一点都是内点,是开集,集合 包含着它的全部边界点,中没有边界点,显然，平面上不带边的任意矩形内部，不带边的任意 一个圆内部都是 中的开集.,例6中的 就是,一个闭集.,在 中这样的集合则既非开集，也非闭集.,连通集：如果点集E内任何两点，都可用折线连接 起来，且该折线上的点都属于E,则称E为连通集.,区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域.,开区域,又例如，在 上,闭区域:, 集合R=,是否是区域？,闭区域,又例如，在 上,对于集合 , 如果存在一个正数 , 使得 包含于以原点为心，以 为半径的球内, 则称 为有界集合；如果不存在这样的正数，则称 为无界集合,及相应的闭区域,都是无界的.,点的邻域,例 平面点集,连通的,小结,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,z=ax+by+c,二元函数的图形 点集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)D称为二元函数zf(x, y)的图形. 二元函数的图形是一张曲面.,z=ax+by+c表示一张平面.,例,方程x2+y2+z2a2确定两个二元函数,分别表示上半球面和下