随机变量和离散型.ppt

在前面的学习中,我们用字母A、B、C.表示事件，并视之为样本空间S的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。 本章，将引入随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。,第二章 随机变量及其分布,Random Variable and Distribution,第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量及其分布律 第三节 连续型随机变量及其概率密度 第四节 随机变量的分布函数 第五节 随机变量的函数的分布 小结,主要内容,第二章知识结构图,随机变量,分布律,分布 函数,函数的 分布,概率 密度,离散型随 机变量,分布 函数,函数的 分布,连续型随 机变量,定义,常用分布,定义,常用分布,第一节 随机变量的概念,随机变量概念的引入 引入随机变量的意义 随机变量的分类,(1)、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,9月份承德的最高温度；,每天进入公共教学楼的人数；,一、随机变量概念的引入,(2)、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,例如: 掷硬币试验,考察其正面和反面朝上的情况,可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 示“反面朝上”,结论：不管试验结果是否与数值有关，我们都可以通过引入某个变量，使试验结果与数建立了对应关系,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值 单值函数.定义域为样本空间S，取值为实数.,e.,X(e),R,这即为所谓的随机变量,（1）它是一个变量, 它的取值随试验结果而改变,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,定义 设随机试验的样本空间为S=e. X= X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X= X(e)为随机变量.,简记为 r.v.,说明,(3)随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母 x, y, z, w, n等.,我们将研究两类随机变量：,二、随机变量的分类,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,第二节 离散型随机变量及其分布律,离散型随机变量定义 离散型随机变量分布律 几种常见分布,定义1 ：若随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 则称X为离散型随机变量 .,一、离散型随机变量定义,例如：1、设X表示抛三次硬币的试验中出现正 面朝上的次数.,X的可能取值为0，1，2，3.,2、设Y表示120急救电话台一昼夜收到的呼次数,则Y的可能取值为0,1,2,3,X和Y都是离散型随机变量,其中 (k=1,2, ) 满足：,（2）,定义2 ：设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称,为离散型随机变量 X 的分布律.,用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律,二、离散型随机变量的分布律,离散型随机变量分布律也可以用列表法表示,离散型随机变量可完全由其分布律来刻划 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定,例题1： 设随机变量X的分布列为,试确定常数a.,例2：某篮球运动员投中篮筐概率是0.9，求其两次独立投篮后，投中次数 X 的概率分布。,解：X 可取的值为 ：0, 1, 2，且,P(X=0) = 0.1*0.1 = 0.01，,P(X=1) = 0.9*0.1+ 0.1*0.9= 0.18 ,P(X=2) = 0.9*0.9= 0.81 .,X 的概率分布,练习 设袋中装有6个球，编号为1,1,2,2,2,3，从袋中任取一球，记取到的球的编号为X， 求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率,X 的分布列为:,练习 设袋中装有6个球，编号为1,1,2,2,2,3，从袋中任取一球，记取到的球的编号为X， 求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率,一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机抽取3个，以X表示取出的3个球中最大的号码，求X的分布列,1、两点分布（也称（0-1）分布）,凡试验只有两个结果, 常用0 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.,0 p 1,记为 XB(1, P)。,定义：设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.,二、几个重要的离散型随机变量及其分布列,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,练习 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定,则随机变量 X 服从(0 -1)分布.,X 的分布列为:,2. 二项分布,产生背景：n 重伯努利试验,二项分布定义：,记为,例：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。,解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则,X 的概率分布为,例 某特效药的临床有效率为75%，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？,练习 ：已知有一大批这类的灯泡,次品率是0.2。随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率。,解: 设X为20只灯泡中次品的个数，则,X B (20, 0.2)，,1、若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.-超几何分布,请注意：,2、如果产品总数很大，且抽查的产品个数相对于产品总数来说很小，则可以当作有放回抽样处理。,定义： 设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2, 概率分布为：,3. 泊松分布,其中0 是常数， 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记作 X P() 。,易见,易于验证：,非负性,规范性,在某个时段内：,大卖场的顾客数；,某地区拨错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数., ,一个容器中的细菌数；,一本书一页中的印刷错误数；,一匹布上的疵点个数；, ,放射性物质发出的 粒子数；,例6： 某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每月的销售量可以用参数为 的泊松分布来描述,试求：,(1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？,销售2件产品的概率为,例6某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每月 的销售量可以用参数为 的泊松分布来描述,试求：,(2)下个月该商店销售此种商品多于2件的概率是多少？,练习：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数 =3 的泊松分布。求： (1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率； (2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率。,解:,= (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) e-3 0.7169.,(1). PX=3 = (33/3!)e-3 0.2240；,(2). P2X5,= PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松（Poisson)引入的 .,近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.,在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.,二项分布的泊松近似,当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如要计算,我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面我们还将介绍二项分布的正态近似.,或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.,泊松定理： 设0是一常数，n是任意正整数，设npn=，则对于任一固定的非负整数k，有,证明：由pn=/n有,对于任意固定的k，当n时,意义：定理的条件npn=（常数）意味着当n很大时，pn必定很小。因此，上述定理表明当n很大、p很小时有以下近似式,其中=np,n 100, np 10 时近似效果就很好,实际计算中，,其中,也就是，n很大时，B(n,p) P(np),例 某人射击，每次命中率为0.02，求在独立进行400次射击中，至少击中2次的概率？ 解：设X表示射击400次击中的次数，由题意 Xb(400，0.02)。,由泊松近似公式计算上题：,分析结果：不能忽视小概率事件。,解：设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则,可用泊松定理计算,所求概率为,练习 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,4. 几何分布（了解）,从一批次品率为p(0p1）的产品中逐个随机抽取产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到次品为止，设检验的次数为X, 则X可能取值为1，2，3.,其概率分布为：,称这种概率分布为几何分布,例7 一个保险推销员在某地区随机地选择家庭进行访问，每次访问的结果是：如果该户购买了保险则定义为成功，没有购买保险则定义为失败从过去的经验看，随机选择的家庭会购买