《定积分的应用》PPT课件.ppt

5.5. 定积分在几何上的应用,5.5. 定积分在经济上的应用,5.5 定积分的应用,5.5. 定积分的微元法,5.5.1 定积分的微元法,.复习引入：求曲边梯形面积的四个步骤,(1)分割,把区间a,b分成n个子区间,(2)近似代替,(3)近似求和,(4)取极限,2.将以上四个步骤概括为两步：,3.求曲边梯形面积的方法与步骤推广， 得定积分的微元法：,可以用定积分表示的量，在区间a,b上的定积分 按以下方法得到：,这种方法称为定积分的微元法：,4.用微元法分析问题的一般步骤: （1）定变量根据问题的具体情况，选取一个积分变量，并确定变量的变化范围，如取 为积分变量，的变化区间为 ；,（3）求积分将上述微元“积”起来，得到所求量,（2）取微元在区间 内任取一个子区间 得到微分元素 ；,5.5.2 定积分在几何上的应用,当 时,当 时,当 在区间 上有正, 有负时,1. 定积分的几何意义,.用定积分的微元法求由曲线,所围成的平面图形的面积。,如图所示：,当 时,有时 有时,例.求抛物线 和 轴所围成的平面图形的面积,解：作出图形,例.求抛物线 和直线 所围成的平面图形的面积,解：作出图形,解方程组 得,.,解 如图所示，,解方程组,解：作出图形,例5 求椭圆,解 根据椭圆的对称性和定积分的几何意义，有,(3)由连续曲线 与直线 所围成的平面图形的面积 （我们仅讨论 的情况 ),(4)由连续曲线 与直线 所围成的平面图形的面积 （我们仅讨论 的情况 ),.,解 如图所示，,解方程组,课堂小结,可以用定积分表示的量，在区间a,b上的定积分 按以下方法得到：,1.定积分的微元法,设 是 上的连续函数，由曲线 与直线 ， ， 围成的曲边梯形绕 轴旋转一周，得到一个旋转体，怎样求这个旋转体的体积？,?,复习引入：,复习引入：,可以用定积分表示的量，在区间a,b上的定积分 按以下方法得到：,1.定积分的微元法,用微元法来求旋转体的体积 :,在 上任取一小区间,得微分元素：,(2)由曲线 与直线 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而得到的旋转体的体积为,证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为,解：以圆锥的顶点为坐标原点，以圆锥的高为 轴，建立直角坐标系，,直线OA的方程为,则圆锥可以看成是由直角三角 形ABO绕 轴旋转一周而得到的旋转体,轴和,解：绕 轴旋转时,得:,特别地,当,时,得球体体积,绕 轴旋转时,得:,解：如图所示，,解 如图所示.,解方程组,课堂小结：,可以用定积分表示的量，在区间a,b上的定积分 按以下方法得到：,1.定积分的微元法,3.由曲线 与直线 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而得到的旋转体的体积为,一. 变力沿直线作功,9 定积分的物理应用,复习引入:定积分的微元法.,1.若物体在常力F作用下,沿F的方向移动 s 距离,则力对物体所作的功为： W=Fs,得dW=F(x)dx,则,.设物体所受到的力是位置x的函数,取x为积分变量,变化区间为a,b.,力对物体所作的功.,用定积分的微元法来解决这一问题:,(1)任取子区间x,x+dx,例1 设9.8牛顿的力能使弹簧伸长1厘米,从而,(焦耳),求伸长10厘米需作多少功?,所以k=980.,F=9.8牛顿,当x=0.01米时,解:,F=980x.,例2 一个圆台形的水池内盛满了水,水池高为5米,上底半径为3米,下底半径为2米,求将水池内的水全部抽出需作多少功?,解:建立如图所示的直角坐标系,解 将水桶从井里提上来所作的功为,下面计算将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为,例3 一桶水重10kg,由一条线密度0.1kg/m的绳子系着，,将它从20m深的井里提上来需作多少功?,1.设有一面积为S的平板,水平放置在液体下深度x处,则平板一侧所受压力为:,则平板一侧所受压力须用微元法解决.,2.如果平板垂直放置在液体下,二. 液体的压力,例4.有一个水平放置的圆形管道，直径为2米，有一道闸门， 当水半满时，求闸门受到的力。,解：建立如图所示的直角坐标系。,例5 半径为R的圆柱形油桶内有半桶油,求一个端面所受的压力.,解,例6 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力.,解,例7 设有质量为M,长度为L的均匀细杆,解：任意x, x+dx,另有一质量为m的质点位于同一直线上,且到杆的近段距离为a,求杆对质点的引力.,三. 引力,由万有引力定律,两质点之间的引力为,若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决.,区间x, x+dx对应的细杆质量为,则引力为,四. 连续函数的平均值,n个数的平均值为,而连续函数f(x)在区间a,b上的平均值, 需要用定积分计算.,将a,bn等分,在每个小区间上依次任取,则,由定积分定义可知,例1 求从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.,解,注意: 积分中值定理中的f()就是f(x) 在区间a,b上的平均值.,5.5.2 定积分在经济上的应用,定积分在经济中的应用归纳起来一般分为两大类型： 第一，已知边际函数或变化率，用定积分求原来的函数； 第二，已知边际函数或变化率，用定积分计算产量由 到 时原来函数的改变量 一般地，已知边际成本、边际收入、边际利润等去考虑总成本、总收入、总利润等问题,5.5.2 定积分在经济上的应用,5.5.2 定积分在经济上的应用,5.5.2 定积分在经济上的应用,5.5.2 定积分在经济上的应用,解:,5.5.2 定积分在经济上的应用,解:,该产品的边际利润为 令 ,即 ，得惟一的驻点 ;,5.5.2 定积分在经济上的应用,解:,课堂练习 ：,（答案：2 ）,3若某产品的固定成本为5万元，边际成本为 （万元/百件），求总成本函数,（答案： ）,1求由曲线 在 上与 轴所围成图形的面积 ,2求