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定积分的概念,a,b,原型 （求曲边梯形的面积）,一、抽象定积分概念现实原型,面积怎么求？,元素法,利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可,概括“分割-取近似-求和-取极限” 的步骤.,将曲边梯形的底，即a ,b进行分割(用垂直于x轴的直线).,第一步 分割；,曲边梯形的面积的解决思路：,取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.,第二步 取近似；,用矩形面积近似小曲边梯形面积,典型小区域面积,第三步 求和；,矩形面积和与曲边梯形面积不相等,有误差,将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.,第四步 取极限.,当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.,二、 定积分的定义,定义,以直代曲,求和,积分上限,积分下限,取极限,注意：,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,几何意义,例1,解,定理,三、定积分的性质,定理,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,定理 （积分区间的可加性）,定理,对定积分的补充规定:,定理（保序性）,推论（保号性）,定理 （有界性）,例2,解,定理（绝对值不等式）,用保序性证得,定理（积分中值定理）,积分中值公式的几何解释,定积分的计算,定积分计算,如何计算定积分？,定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.,根据几何意义，图不好画,定理,牛顿-莱布尼茨公式,微积分基本定理,微积分基本公式表明：,求定积分问题转化为求原函数的问题,注意,例1 求,解,提示与分析：,先看成不定积分问题，求出原函数.,例2,例如,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,第一换元法,考虑,到底该令哪个式子为u,一定要换积分上、下限,第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式:,解,例4 计算,说明:,使用第一换元法的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论形式不同.,例5 计算,解一,提示与分析：,用凑微分法求解.,解二,解三,第 一 类 换 元 法,难 求,易 求,第二换元积分法,第 二 类 换 元 法,难 求,易 求,定积分的第二换元积分法,应用换元公式时要注意:,第 二 换 元 法,例7计算,解 令,如何去掉根式？,三角代换,解,例8 计算,解,例9
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