逆变换与逆矩、矩阵的特征向量.ppt

一、逆变换与逆矩阵 1设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得 ，则称变换可逆，并且称是的逆变换,2设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使 得， 则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的 逆矩阵,=I,BA=AB=E2,3逆矩阵的性质 性质1.设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆 矩阵是_的 性质2.设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可 逆，且_,唯一,（AB）-1=B-1A-1,4定理：二阶矩阵A 可逆，当且_,detA=ad-bc0,二、逆矩阵与二元一次方程组 1定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组 (线性方程组)的系数矩阵A 可逆，那么该方程 组有唯一解,2推论：关于变量x，y的二元一次方程组 其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的行列式_,三、特征向量定义 设矩阵A ，如果存在数以及非零向量， 使得 ，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A 的属于特征值的一个特征向量,A=,四、特征向量的性质 设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值，1，2是矩阵 A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于任意的非 零平面向量，设t11t22(t1，t2为实数)，则对任 意的正整数n，有An .,t11n 1+t22n2,1已知B 并且(AB)C 求矩阵A.,解：(AB)CA(BC)且BC,故A,2已知M ，求M4.,解：矩阵M的特征多项式为 f() 2230， 所以13，21， 对应的一个特征向量分别为,令m1n2，将具体数据代入有m4，n3， M4M4(4132) 4(M41)3(M42),3给定矩阵A 求A的特征值1，2及对应特征向量1，2.,解：设A的一个特征值为，由题意知： 即(2)(3)0，解得12，23， 当12时，由 得A属于特征值2的一个特征向量 1 当23时，由 得A属于特征值3的一个特征向量2,4(2009前黄高级中学高三调研)已知二阶矩阵M有特征值 8及对应的一个特征向量e1 ，并且矩阵M对应 的变换将点(1,2)变换成(2,4) (1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2 的坐标之间的关系,解：(1)设M 故 故 联立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4， 故M,(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为 f()(6)(4)8 21016， 故另一个特征值为2. 设矩阵M的另一个特征向量是e2 ，则Me2 解得2xy0.,1逆矩阵的求法有两种： 一是利用待定系数法 二是利用公式法即当A 时， 有A-1=,2若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB)1B1 A1；若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当ABAC时， 有BC，即此时矩阵乘法的消去律成立,已知A ，求A1.,求逆矩阵有两种方法.一是利用待定系数法.二是利用公式法.,解：法一：利用待定系数法 设A1 则 故 矩阵A的逆矩阵A1 .,法二：直接代入公式法 detA3(2)2(4)2 A1 .,1已知A ，试判断变换矩阵A是否可逆，如 果可逆，求矩阵A的逆矩阵A1；如不可逆，请说明 理由,解：detA221(1)50，所以变换矩阵A是可逆的 设矩阵A的逆矩阵为 则 故解得,故变换矩阵A的逆矩阵为 .,A-1=,1关于变量x，y的二元一次方程组 (其中a， b，c，d均为常数)写成矩阵形式可以表达成 2如果矩阵A 可逆，则方程组的解可以表达成,用逆矩阵方法求二元一次方程组 的解,首先把方程组表示成矩阵方程，然后求系数矩阵的逆矩阵，最后求方程的解.,解：已知方程可以写为： 令M 其行列式 13 (2)90. M1,即方程组的解为,2(2010福州预测卷)用矩阵方法求二元一次方程组 的解,解：已知方程组可以写为 令M 其行列式为： 213(5)170， 所以M1 所以 即方程的解为,1关于特征值问题的一般解法如下： 给定矩阵A ，向量 ，若有特征值， 则 即 即2(ad)(adbc)0.,2对于矩阵来说，矩阵的一个特征向量只是属于A的一 个特征值；属于矩阵A的不同特征值的特征向量相互之 间一定不共线，若是矩阵A的属于特征值的一个特征 向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特 征值的特征向量,已知aR，矩阵A 对应的线性变换把点P(1,1)变成点P(3,3)，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量,先利用一般解法求出特征值1、2，然后求出相应的特征向量.,解：由 ，得 a13，a2. 矩阵A的特征多项式为 f() (1)(3) 令f()0，得矩阵A的特征值11，23. 对于特征值11，解相应的线性方程组,因此，1 是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量 对于特征值23，解相应的线性方程组 因此，2 是矩阵A的属于特征值23的一个特征 向量,3求出矩阵A 的特征值和特征向量,解：矩阵A的特征多项式为 令f()0得A的特征值为1或1， 将1代入二元一次方程组得 解得y0. 令xk，kR且k0，,于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为 ，同理可得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为 .,逆矩阵的求法以及矩阵的特征值与特征向量，也是高考新增内容之一.在考查中，多考查矩阵的逆矩阵的求法及特征值特征向量的求法问题，难度不大，如2009年江苏高考21题.福建高考21题都考查了此热点内容.,(2009