单辉祖工力4一般力系.ppt

平 面 任 意 力 系,第 四 章,工程实例,4-1 力的平移,力的平移定理,令 F = F = - F,作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力对 O 点的矩。,逆过程：,平面内的一个力和一个力偶总可以等效地被同平面内的一个力替换，但作用线平移一段距离,位置由 M 的转向确定。,力线平移的讨论1,F,力线平移的讨论2,图中单手攻丝时，由于力系 ( F , MO ) 的作用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。,例4-1 求图中力 F 对点 A 之矩。若 r=20cm，R=50cm，F = 300N。,解:,F*,M,4-2 平面任意力系向平面内一点简化,O 点称为简化中心,将各力向简化中心平移,平面任意力系,平面汇交力系,平面力偶系,一个合力 R,一个合力偶 MO,主矢：,主矢为原力系各力的矢量和,主矢大小,主矢方向,主矢与简化中心无关,主矢用于量度平面任意力系 对物体的移动作用效应,主矢的作用线通过简化中心,主矩：,主矩用于量度平面任意力系对物体 绕简化中心转动的作用效应,结论: 平面任意力系向平面内任一点简化可得到作用线通过简化中心的主矢和关于简化中心的主矩。主矢为该力系各力的矢量和,主矩为该力系各力对简化中心矩的代数和。,主矩与简化中心有关,主矩为原力系各力对 简化中心矩的代数和,固定端约束的工程实例,固定端支座反力,简化图形,情况一：主矢等于零，即 R = 0,MO 0,合力偶,此力偶为原力系的合力偶，由简化结果彼此等效知：此情况下，主矩与简化中心 O 无关。,平 衡,MO = 0,4-3 节将重点讨论。,平面力系的简化结果分析,情况二：主矢不等于零，即 R 0,MO = 0,合力 R,此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。,合力 R 大小等于 主矢,MO 0,此力为原力系的合力，合力的作用线距简化中心的距离,合力矩定理,平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。,合力对 O 点的矩为： MO ( R ) = Rd = MO 主矩 MO = MO ( F ) MO ( R ) = MO( F ),证： 由前表的第二种情况可知：,即，主矢 R= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F31 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m,例4-2 图示力系,已知: M = 2 ( Nm),解：,求力系的主矢及关于D点的主矩。,。求力系的合力。,例4-3重力坝受力如图所示。设,解：（1）先将力系向O点简化，主矢在x、y轴上的投影。,主矢的大小,kN,kN,式中,kN,而,因为 FRy 为负，故主矢在第四象限内， 与 x 轴的夹角为70.84。,（2）合力FR的大小和方向与主矢相同。 其作用线位置根据合力矩定理求得（图c），,解得,即,力系的主矩,（顺时针 图b）,3-3 平面力系的平衡条件,平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。 即： R= 0 , MO = 0 由：,平衡的解析条件：,X = 0， XA + 3lq/2 F sin 60=0 XA = 316.4 kN Y = 0，Fcos 60 P + YA = 0 YA = -100 kN MA( F ) = 0， MA 3 l 2 q / 2 M + 3 l Fsin60 F l sin 30= 0 MA = -789.2 kNm,自重为 P = 100 k N 的 T 字形刚架， l =1m， M = 20kNm，F = 400 kN，q = 20 kN/m ，试求固定端A 的约束反力。,例 4-4,解：,自重不计的简支梁 AB 受力如图，M = Pa。试求 A 和 B 支座的约束反力。,例4-5,解：受力分析，,取坐标轴如图。,MA ( F ) = 0 ,NB 4 a M P 2 a q 2 a a = 0,X = 0 , XA = 0,Y = 0 , YA q 2a P + NB = 0,当我们更换第三个方程，结果同。,解：受力分析，,取坐标轴如图。,MA ( F ) = 0 , NB 4 a M P 2 a q 2 a a = 0,X = 0 , XA= 0, YA 4 a + q 2 a 3 a + P 2 a M = 0,MB = 0 ,二力矩形式的平衡方程:,MA ( F ) = 0，则力系简化为过A点的一个合力,MB ( F ) = 0 ，则力系简化为过B点的一个合力 合力沿AB的连线,X = 0， RCOS=0 若90O R=0，物体平衡 若=90O ，（ABx）方程自然满足，平衡不定,用二力矩方程要求 AB 联线不与 x 轴垂直,用三力矩方程要求 A、B 、C 三点不共线,平衡方程的三种形式,基本,二力矩,三力矩,要求 x 轴 不平行 y 轴,要求 AB 联线不与 x 轴垂直,要求A、B、C 三点不共线,X = 0 Y = 0 MO(F) = 0,X = 0 MA(F) = 0 MB(F) = 0,M A (F)= 0 M B (F)= 0 M C (F)= 0,平面平行力系的平衡方程,平行力系：力系中所有力的作用线都相互平行的力系。,于是，独立的平衡方程数只有两个 Y = 0 MO ( F ) = 0 或 MA ( F ) = 0 MB ( F ) = 0 A、B 连线不与力平行,如选 x 轴与各力垂直就有X 0,（1） 保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷 P3 应为多少？,塔式起重机如图，P1=700kN，P2=200kN，试问：,例4-6,（2） 当 P3 =180kN 时，求满载时轨道 A、B 轮的约束反力。,保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷 P3 应为多少？ （P1 = 700kN，P2 = 200kN）,解：满载而不翻倒时，临界情况下，NA = 0,M B = 0, P3min(6+2) +2P1P2(12 2) = 0 P3min =(10 P2 2P1) /8= 75kN 当空载（ P2 = 0）而不翻到，临界情况下，NB= 0 MA= 0, P3max(6 2) 2P1 = 0 P3max = 2P1 / 4 = 350kN 得： 75kN P3 350kN,当 P3 =180kN 时，求满载时轨道 A、B 给轮的反力。,P1 = 700kN，P2 = 200kN 解：MA = 0 , P3 (6 2) 2P1 P2 (12 + 2 ) + 4 NB = 0 NB = (14 P2 + 2 P1 4 P3 ) / 4 = 870kN Y = 0, NA +NB P3 P1 P2 = 0 NA = 210kN 用 MB =0 可以进行校验。,4-4 刚体系的平衡静定和静不定问题,工程结构大都是几个刚体组成的系统。,为提高结构坚固性，常常增加多余约束，使未知量个数超过独立方程数，这样的问题称为静不定或超静定问题。,当系统中的未知量个数等于独立方程数，这样的问题称为静定问题。,在平面任意力系的作用下，每个物体可写出三个平衡方程，若体系由 n 个物体组成，则可写出 3 n 个独立方程。（平行、汇交力系减少）,系统平衡时，组成该系统的每个物体皆平衡。,静定和静不定问题对比（1）,本问题为平面汇交力系，独立方程数为2个,未知量的个数 ,（1） 2个,（2） 3个,静定和静不定问题 对比（2）,本问题为平面任意力系，独立方程数为3个,未知量,4个,未知量,3个,未知量,3个,未知量,4个,静定和静不定问题 对比（3）,独立方程数6个,未知量,独立方程数3个,未知量,6个,4个,无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重 P、半径 r ，圆桶半径 R 。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量 G min 。,例4-7,取整体为研究对象，受力情况如图。,翻倒的临界情况时，,min,桌面对圆筒的约束反力集中在最右边的一点上。,且：G = Gmin 。,解 1：分别以两个球和圆桶为研究对象,画受力图。,设 BE = a ，AE = b。,显然， DO = BE = a ， b =2 ( R - r )。,O,以两球为对象,E,O,O, MO ( F ) = 0， Gmin R FDa = 0 Gmin = FDa R = P b R G min = 2P ( 1 rR ), FD = P ba,M A ( F ) = 0， FD a P b = 0,以桶为对象，选择 O 点，,解 2：以两个球为研究对象, N = 2P,以整体为研究对象,Y = 0， N P P = 0, MO ( F ) = 0， Pr + Gmin R (N P)(2R r) = 0,静定组合梁如图，已知 Q = 10kN，P = 20kN，p = 5kN/m，q = 6kN/m和 2a = 1m。梁自重不计，求A，B的支座反力。,例4-8,解：1、以CD为对象,例3-8 (续1),X = 0 ， X C = 0 M C ( F ) = 0 ， Qa + NB2a ,= 0,NB = Q 2 + 4qa 3 = 9 （ kN ),M B ( F ) = 0 ,YC = Q 2 - qa 3 = 4 kN ),Q = 10kN， q = 6kN/m 2a = 1m,例3-8 (续2),2、再以AC为对象,YC,XC,由（1）知, X C = 0 , YC = 4 kN,X = 0 ， X A = 0 Y = 0 ， Y A P p 2a YC= 0 Y A = P + p 2a + YC= 29 (kN) M A( F )= 0 ， MA Pa p2a 3a YC 4a = 0 MA = 10 + 7.5 + 8 = 25.5 (kN m),P = 20kN， p = 5kN/m， 2a = 1m,校验：以整体为研究对象,Y A P p 2a Q + NB qa = 29 20 5 10 +9 3 = 0,MA P a p 2a 3a Q 5a + NB 6a 20 q a2 / 3 = 25.5 10 7.5 25 + 2710 = 0,Y = 0 ，,?,M A ( F ) = 0 ，,?,?,?,?,?,满 足,图示结构，已知载荷F1 、F2 、M及尺寸a，且 M = F1 a ，F2 作用于销钉上，求: （1）固定端 A 的约束反力； （2）销钉 B 对 AB 杆及 T 形杆的作用力。,例4-9,1、以CD为研究对象,MD(F ) = 0， YC 2a - M = 0 YC = F1 / 2,M = F1 a,2、 以T 形杆为研究对象,Y = 0 , YB T + YCF1 = 0 YBT = F1 2 MC (F ) = 0 , XBT a YBT a F1 a = 0 XBT = 3F1 2,Y C = YC = F1 / 2,前页已算得： XBT = 3F1 2 YBT = F1 2 XBT 和 YBT 就是销对 T 形杆的作用力,3、以销钉 b 为研究对象,X = 0, XB XBT = 0 XB= 3F1 2 Y = 0, YB YBT F2 = 0 YB= YBT + F2 = F2 + F1 2 XB 和 YB 是悬臂梁 AB 对销的作用力。,显然， XBT = XBT = 3F1 2 YBT = YBT = F1 2,前页已算得： XB= 3F1 2 ， YB= F2 + F1 2 显然， XB = XB= 3F1 2 YB = YB= F2 + F1 2 这就是销对悬臂梁 AB 的作用力。,以悬臂梁AB为研究对象,X = 0, XA XB = 0 XA = 3F1 2 Y = 0, YA YB = 0 YA = F2 + F1 2 MA( F ) = 0 , MA + YB a = 0 MA = ( F2 + F1 2 ) a,三铰刚架如图，自重不计，求支座 A、B 和中间铰 C 的约束反力。,例4-10,解：以整体结构为研究对象,MA ( F ) = 0 , YB 2a p a 3a2 Q a = 0 YB = Q2