时域离散信号和系统的频域分析.ppt

1,时域离散信号和系统的频域分析,The Frequency-domain Analysis of the Discrete Time Signal & System,2,内容提要,时域离散信号的傅里叶变换 周期序列的傅里叶级数 序列的Z变换 讨论Z变换的定义和收敛域 逆 Z变换 Z变换的定理和性质 系统的频率响应 系统函数的零极点分布 特殊系统的系统函数及特点,3,信号和系统的分析方法：时域分析和频域分析 模拟信号：连续时间函数表示信号，微分方程表示系统，FT或LT表示其频域 时域离散信号：序列表示信号，差分方程描述系统，FT或Z变换表示其频域,4,2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换,而f(j)的傅里叶反变换定义为：,连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为：,5,时域离散信号x(n)的傅里叶变换定义为,X(ej)的傅里叶反变换定义为,在物理意义上，X(ej)表示序列x(n)的频谱，为数字域频率。 X(ej)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为,或用幅度和相位表示为,(2.2.1),6,例2.9 求下列信号的傅里叶变换,解：,时域离散信号的傅里叶变换具有以下两个特点：,(1)X(ej)是以2为周期的的连续函数。,(2)当x(n)为实序列时，X(ej)的幅值| X(ej) |在02区间内是偶对称函数，相位argX(ej)是奇对称函数。,7,Note：并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。,条件：只有当 序列x(n)绝对可和，即,时，式(2. 2.1)中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。,8,(1) FT的周期性,2.2.2 时域离散信号傅里叶变换的性质,n, M为整数 (2.2.6),因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期是2。 X(ej) 是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。,(2) 线性,设,则,9,(3) 时移和频移特性,设,则,(2.2.8),(2.2.9),(4) 序列的折叠,设,则,10,(5) 序列乘以n,设,则,(6) 序列的复共轭,设,则,11,(7) 序列的傅里叶变换的对称性,首先定义两个对称序列： 共轭对称序列xe(n)，定义为xe(n)=xe*(-n)；共轭反对称序列xo(n)定义为xo(n)=-xo*(-n)，此处上标*表示复共轭。,其中,共轭对称序列的实部是偶函数， 而虚部是奇函数 共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数,12,序列的傅里叶变换X(ej)可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和，即,其中,13,FT的对称性 (a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行FT， 得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j),式中,结论：序列分成实部与虚部两部分， 实部的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。,14,(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25) 其中：,15,将上面两式分别进行FT，得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej) =XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej) =jXI(ej),结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部（包括j）。,所以：X(ej)=XR(ej)+jXI(ej) (2.2.26),16,分析实序列h(n)的对称性 FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数， 用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j),17,实序列h(n)分解为共轭对称部分和共轭反对称部分,h(n)=he(n)+ho(n),则： he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列,(2.2.27),18,(2.2.28),实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29) h(n)= ho(n)u+(n)+h(0)(n) (2.2.30),(2.2.31),19,(8) 序列的卷积,设,则,(9) 序列相乘,设,则,20,(10) Parseval定理,帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。,21,2.3 周期序列的离散傅里叶级数,2.3.1 定义,设 是以N为周期的周期序列， 由于是周期性的， 可以展成傅里叶级数,(2.3.1),其基波频率为：,用复指数表示：,第k次谐波为：,22,由于是周期序列，且k次谐波也是周期为N的序列：,因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐波分量就足以表 示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为,式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便；,为k次谐波的系数。,23,将上式两边乘以,由复指数序列的正交性：,所以，,24,(2.3.6),(2.3.7),得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：,如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的反变换。,由于,故 是周期为N的离散周期信号。,周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表。,25,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式,(2.3.8),假定其FT的形式与(2.3.8)式一样，但由于n取整数， 下式成立,取整数,模拟系统中，令,时域离散系统中，令,26,说明：复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。,因此e j0n的FT为,(2.3.9),若上述假定成立，则按照式(2.2.4) 的逆变换必须存在， 且唯一等于 ， 下面进行验证。,27,图 2.3.2 的 FT,28,观察图2.3.2， 在区间， 只包括一个单位冲激函数， 等式右边为 ， 因此得到下式：,结论：证明了式(2.3.9) 是ej0n的FT.,对一般周期序列 ， 按式(2.3.4) 展开DFS， 第k次谐波为,其FT为,29,式中k=0, 1, 2 N-1, 如果让k在之间变化，上式可简化成,(2.3.10),因此 的FT如下式,30,表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,31,例 2.3.3 令 ， 2/0为有理数， 求其FT。 解： 将 用欧拉公式展开,(2.3.11),按照式(2.3.9) ， 其FT推导如下：,32,图 2.3.4 cos0n的FT,33,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系,模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式,(2.4.1),(2.4.2),其中，t与的域均在之间。,34,连续信号和采样信号 采样信号 和连续信号xa(t)的傅里叶变换之间的关系,35,时域离散信号x(n)， 或称序列x(n)： x(n)=xa(nT) n取整数，否则无定义。 x(n)的一对傅里叶变换用式(2.2.1)和式(2.2.4) 表示：,36,讨论 X(e j)与Xa(j)的关系 数字频率与模拟频率(f)之间的关系,(2.4.4),将t=nT代入式模拟信号的傅里叶变换式中， 得到,并将其表示成无限多个积分和，每个积分区间为2/T,37,令 ， 代入上式后， 再将用 代替， 得到,式中， 因为r和n均取整数， e-j2rn=1， 交换求和 号和积分号得到,(2.4.5),38,若序列是由一模拟信号取样产生， 则序列的数字频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系， 即： =T,式中T是采样周期T=1/fs， 将其代入式(2.4.5) 得到,现在对比(2.2.4)式和(2.4.6)式， 得到,(2.4.6),(2.4.7),39,结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系， 与采样信号的FT和模拟信号的FT之间的关系一样，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓，且在频率轴上进行归一化（ 对 归一化）。频率轴上取值的对应关系用式(1.2.10) 表示。,40,图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,41,例 2.4.1 设xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz，以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 解：,(2.4.8),42,以fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ， 按照式(1.5.2) ， 与xa(t)的关系式为,的傅里叶变换用式(1.5.5) 确定， 即以s=2fs 为周期， 将Xa(j)周期延拓形成， 得到：,43,(2.4.9),将采样