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1.2 曲率和曲率圆及其应用,曲率是描述曲线局部性态的重要指标，是曲线弯曲程度的数学刻画，曲率等于切线方向对弧长的转动率。因此，曲率 可定义为,其中,为曲线,在弧段,上的转动角。当曲线,时，,曲率及铁路的弯道分析,由于列车时速与铁路弯道的曲率半径关系密切，为保证列车运行的安全，根据曲率半径计算公式和我国铁路采用三次抛物线作为缓冲曲线的技术要求，火车需从直道经缓冲区再进入弯道。,图1.2.1 铁路缓冲区示意图,图1.2.1 铁路缓冲区示意图,火车轨道从直道（直线）,进入到半径为,的弯道,（圆弧）（图1.2.1），,为,行使安全，必须经过一段,缓冲区（缓冲曲线），以,使铁道的曲率从零增加到,我国铁路采用的缓冲,曲线为三次抛物线,则曲线的曲率为,当,从,变到,时，曲率从,变到,若用直线 的长度近似代替,的长度，则,当,很小时，上式中可略去,于是得到,因此缓冲曲线的曲率从0逐渐增加到,缓冲作用。,从而起到,我国铁路迄今已进行了5次提速，处于安全考虑，火车提速前和提速后对弯道曲率半径都有明确要求。,中国工程院院士、湖南株州电力机床厂高级工程师刘友梅说：在机床运行方面，铁路提速是一个浩大工程和高速列车速度相近的F1赛车在赛道上转弯时会面临相当于 倍于自身重力的加速度，列车运行是无法承受这样的急转弯的。弯道曲率半径越大，列车转弯就越平稳，铁路部门对6万多公里铁路线上的弯道一一进行调整，将小曲率半径线路全部改造成大半径或直线，同时调高曲线外轨。,2004年4月18日，全国铁路自1994年以来第5次大面积提速，时速160公里及其
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