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第五节 曲线的凹凸性、拐点与渐近线,一.曲线的凹凸性,定义1,直观定义.,注,(1)凹,凸,(2)凹也称上凹、下凸,凸也称上凸、下凹.,定义2,如果在某个区间内,曲线位于其上,任一点切线的上方,则称该曲线在,这个区间内是凹曲线;,如果在某个区间内,曲线位于其上,任一点切线的下方,则称该曲线在,这个区间内是凸曲线;,定义3,如果对某区间内任意两点,有,则称曲线为凹曲线;,则称曲线为凸曲线.,如果对某区间内任意两点,有,如果,函数,在区间,内可导,则曲线,在区间,内凹(凸),导函数,在区间,内单调增加(减少).,证,条件:,结论:曲线,曲线:,曲线上任一点,处的切线:,即,只需证,定理4.10,单调增加,对,只需证,设,所以,故曲线为凹曲线.,(条件:曲线,结论:,),设,是,内任意两点,曲线上过,处的切线:,曲线上过,处的切线:,因曲线,故,从而,从而,(1)式与(2)式相加得,故,从而,单调增加.,设,函数,在区间,内有,二阶导数,那么,如果,时,恒有,则曲线,在区间,内是凹曲线;,如果,时,恒有,则曲线,在区间,内是凸曲线.,定理4.11,例1,讨论曲线,的凹凸性.,解,的定义域为,令,得,补充:07年考研真题10分,设函数,由方程,确定,试判断曲线,在点,附近的凹凸性.,解,在点,附近是凸的.,利用凹凸性证明不等式,例2,试证明,时,有,(99年考题),证明,所以曲线是凸的,又,故,时,即,定义,曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.,如果,为曲线,的拐点,则必有,或,不存在.,不存在,注 (1)一般来说圈中的点为,有限多个.,(2)拐点是曲线上的点,表,示拐点要用两个坐标.,二.曲线的拐点,拐点定理,例3,讨论曲线,拐点.,解,的定义域为,令,得,拐点,拐点,例4,讨论曲线,的凹凸性与拐点,解,的定义域为,令,得,另,不存在,三.曲线的渐近线,定义,如果曲线上的动点,沿着曲线无限,地远离原点时,点,与某一固定直线,的距离趋于零,则称该直线为曲线的,渐近线.,1.水平渐近线,2.垂直渐近线或铅垂渐近线,3.斜渐近线,渐近线,1.水平渐近线,是水平渐近线,或,或,例5,求曲线,的水平渐近线.,解,因,水平渐近线为,2.垂直渐近线或铅垂渐近线,是铅垂渐近线,或,是,的间断点,例4,求曲线,的铅垂渐近线.,解,因,铅垂渐近线为,是,的间断点,且,3.斜渐近线,是斜渐近线,或,或,设,又,故,从而,若,则,讨论,例6,求曲线,的斜渐近线.,解,是斜渐近线.,是水平渐近线,或,是铅垂渐近线,或,是,的间断点,(,),或,是斜渐近线,渐近线总结:,练习,求曲线,的渐近线.,解,故无水平渐近线.,(1),(2),
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