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第二节 正项级数及其审敛法,一、正项级数概念,二、正项级数比较审敛法,三、达朗贝尔比值审敛法,四、柯西根值审敛法,一、正项级数概念,1、定义:,为正项级数.,正项级数部分和数列 sn 为单调增加数列.,2、正项级数收敛的充要条件: (基本定理),正项级数收敛 部分和数列 sn 有界.,若,收敛 ,部分和数列 sn 单调递增,从而,又已知 sn 有界,故有界.,故 sn 收敛 ,也收敛.,二、正项级数比较审敛法 1、比较审敛法 1（一般形式）,证明,即部分和数列有界,n 不是有界数列,证明,比较审敛法的不便:,须有基本级数.,解,由图可知,重要基本级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,解,重要基本级数 几何级数, p - 级数, 调和级数.,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,证明,推论 (比较审敛法1),设,且存在,对一切,有,(1) 若级数,则级数,(2) 若级数,则级数,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),比较判别法的关键是找出基本级数.,当级数一般项较复杂时, 不容易比较, 可用下列比较判别法的极限形式.,2、比较审敛法2 (比较审敛法的极限形式),两个级数有相同的敛散性 ；,(1) 当 0 l 时,(2) 当 l 0 时,(3) 当 l 时,解, 原级数发散., 原级数收敛.,原级数收敛.,解, 原级数发散., 原级数收敛.,3、比较审敛法3 (比阶审敛法),解,解,思考题,解,由比较审敛法2知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,三、比值审敛法 (DAlembert判别法),级数收敛 ；,(1) 当 0 1 时,(2) 当 1 时,(3) 当 1 时,级数发散 ；,级数敛散性需另行判定.,比值审敛法的优点:,不必找基本级数.,解,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,解,解,级数收敛；,级数发散；,解, 原级数收敛 .,注：多种审敛法可结合应用。,说明:,说明:,四、根值审敛法 (柯西判别法),级数收敛 ；,(1) 当 0 1 时,(2) 当 1 时,(3) 当 1 时,级数发散 ；,级数敛散性需另行判定.,五、正项级数的柯西积分审敛法,六、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限,例：求数列的极限,判别正项级数敛散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用其他判别法,积分判别法,部分和极限,小结,判别正项级数 敛散性步骤：,否,原级数发散.,是,或无法求,4. 按定义,5. 利用性质,6. 基本定理,1. 比值审敛法,2. 根值审敛法,3. 比较审敛法,小结,判别正项级数 敛散性步骤：,否,原级数发散.,是,或无法求,1. 按定义,2.
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