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勾股定理的证明方法及简单应用-毕业论文【标题】勾股定理的证明方法及简单应用【作者】孙官勇 【关键词】勾股定理 建筑 航海 【指导老师】冯彬 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 约2000年前我国古代算书周髀算经中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾较长的边叫做股斜边叫做弦。勾三股四弦五”的意思是在直角三角形中如果勾为3股为4那么弦为5.这里32 42 52。们还发现勾为6股为8弦一定为10。为5股为12弦一定为13等.也有62 82 10252 122 1367即勾2股2弦2。所以我国称它为勾股定理. 据文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后欣喜若狂杀牛百头以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。 勾股定理的证明是几何学中的明珠所以它充满魅力千百年来人们对它的证明趋之若骛其中有著名的数学家也有业余数学爱好者有普通的老百姓也有尊贵的政要权贵甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单更容易吸引人才使它成百次地反复被人炒作反复被人论证。1940年出版过一本名为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 勾股定理的应用也是非常的早在更早期的人类活动中人们就已经认识到这一定理的某些特例。据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书据专家们考证其中一块上面刻有如下问题“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上当其上端滑下6个单位时请问其下端离开墙角有多远”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子专家们还发现在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表表中共刻有四列十五行数字这是一个勾股数表最右边一列为从1到15的序号而左边三列则分别是股、勾、弦的数值一共记载着15组勾股数。这说明勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。中国古代大禹在治水的时候也就也就总结出这个原理. 2已知成果的概述 2.1 国内对勾股定理的证明 赵爽的这个证明可谓别具匠心极富创新意识.他用几何图形的截割拼补来证明代数式之间的恒 等关系既具严密性又具直观性为中国古代以形证数形数统一代数和几何紧密结合互不可分的 独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展. 【证法1】赵爽证明 以a、b 为直角边ba 以c为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE HDA EAB. HAD HDA 90o EAB HAD 90o ABCD是一个边长为c的正方形它的面积等于c2. EF FG GH HE ba HEF 90o. EFGH是一个边长为ba的正方形它的面积等于 . . . 【证法2】邹元治证明 以a、b 为直角边以c为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状使A、E、B三点在一条直线上B、F、C三点在一条直线上C、G、D三点在一条直线上. RtHAE RtEBF AHE BEF. AEH AHE 90o AEH BEF 90o. HEF 180o90o 90o. 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE HGD EHA. HGD GHD 90o EHA GHD 90o. 又 GHE 90o DHA 90o 90o 180o. ABCD是一个边长为a b的正方形它的面积等于 . 【证法3】刘徽证明 刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法只是具体的分合移补略有不同刘徽的证明原也有一幅图可惜图已失传只留下一段文字“勾自乘为朱方股自乘为青方令出入相补各从其类因就其余不动也合成弦方之幂开方除之即弦也”后人根据这段文字补了一张图见下图 只要把图中朱方a2的I移至I青方的II移至IIIII移至III则刚好拼好一个以弦为边长的正方形c2 由此便可证得a2b2c2 【证法4】杨作玫证明 做两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、bba斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFACAF交GT于FAF交DT于R. 过B作BPAF垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直垂足为EDE交AF于H. BAD 90oPAC 90o DAH BAC. DHA 90oBCA 90o AD AB c RtDHA RtBCA. DH BC aAH AC b. 由作法可知 PBCA 是一个矩形 RtAPB RtBCA. 即PB CA bAP a从而PH ba. RtDGT RtBCA RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH DG aGDT HDA . DGT 90oDHF 90o GDH GDT TDH HDA TDH 90o DGFH是一个边长为a的正方形. GF FH a . TFAFTF GTGF ba . TFPB是一个直角梯形上底TFba下底BP b高FPa ba. 用数字表示面积的编号如图则以c为边长的正方形的面积为 把代入得 . . 【证法5】李锐证明 设直角三角形两直角边的长分别为a、bba斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形把它们拼成如图所示形状使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如图. TBE ABH 90o TBH ABE. 又 BTH BEA 90o BT BE b RtHBT RtABE. HT AE a. GH GTHT ba. 又 GHF BHT 90o DBC BHT TBH BHT 90o GHF DBC. DB EBED ba HGF BDC 90o RtHGF RtBDC. 即 . 过Q作QMAG垂足是M. 由BAQ BEA 90o 可知 ABE QAM而AB AQ c 所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 . 由RtABE RtQAM又得QM AE aAQM BAE. AQM FQM 90oBAE CAR 90oAQM BAE FQM CAR. 又 QMF ARC 90oQM AR a RtQMF RtARC. 即 . 又 即 . 【证法6】陈杰证明 设直角三角形两直角边的长分别为a、bba斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形ba把它们拼如图所示形状使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如图.在EH b上截取ED a连结DA、DC 则 AD c. EM EH HM b a ED a DM EMED -a b. 又 CMD 90oCM a AED 90o AE b RtAED RtDMC. EAD MDCDC AD c. ADE ADC MDC 180o ADE MDC ADE EAD 90o ADC 90o. 作ABDCCBDA则ABCD是一个边长为c的正方形. BAF FAD DAE FAD 90o BAFDAE. 连结FB在ABF和ADE中 AB AD cAE AF bBAFDAE ABF ADE. AFB AED 90oBF DE a. 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtABF和RtBCG中 AB BC cBF CG a RtABF RtBCG. . 2.2 国外对勾股定理的证明 【证法1】梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、b 斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上 且RtGEF RtEBD EGF BED EGF GEF 90 BED GEF 90 BEG 180o90o 90o. AB BE EG GA c ABEG是一个边长为c的正方形. ABC CBE 90o. RtABC RtEBD ABC EBD. EBD CBE 90o. 即 CBD 90o. 又 BDE 90oBCP 90oBC BD a. BDPC是一个边长为a的正方形. 同理HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S则 . 我国清代末数学家项明达证明方法其思路的前一部分与梅文鼎的证明思路相反项明达法是先构造正方形再利用全等三角形与原直角三角形全等知识来证明能从而将问题转化为了梅文鼎证明法的后半部分三个正方形的面积. 项明达证明方法 做两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、bba 斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QPBC交AC于点P. 过点B作BMPQ垂足为M再过点 F作FNPQ垂足为N. BCA 90oQPBC MPC 90o BMPQ BMP 90o BCPM是一个矩形即MBC 90o. QBM MBA QBA 90o ABC MBA MBC 90o QBM ABC 又 BMP 90oBCA 90oBQ BA c RtBMQ RtBCA. 同理可证RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为梅文鼎证明. 【证法2】欧几里得证明法也叫毕氏证明法 做三个边长分别为a、b、c的正方形把它们拼成如图所示形状使H、C、B三点在一条直线上连结 BF、CD. 过C作CLDE 交AB于点M交DE于点L. AF ACAB AD FAB GAD FAB GAD FAB的面积等于 GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半 矩形ADLM的面积 . 同理可证矩形MLEB的面积 . 正方形ADEB的面积 矩形ADLM的面积 矩形MLEB的面积 即 . 【证法3】美国总统伽菲尔德的证明法 以a、b 为直角边以c为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD RtCBE ADE BEC. AED ADE 90o AED BEC 90o. DEC 180o90o 90o. DEC是一个等腰直角三角形它的面积等于 DAE 90o EBC 90o ADBC. ABCD是一个直角梯形它的面积等于 . . 故 【证法4】辛卜松证明 设直角三角形两直角边的长分别为a、b斜边的长为c. 作边长是ab的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分则正方形ABCD的面积为 把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分则正方形ABCD的面积为 2 . . 【证法5】利用相似三角形性质证明 如图在RtABC中设直角边AC、BC的长度分别为a、b斜边AB的长为c过点C作CDAB垂足是D. 在ADC和ACB中 ADC ACB 90oCAD BAC ADC ACB. AC AC AB 即 . 同理可证CDB ACB 即 . 【证法6】利用切割线定理证明 在RtABC中设直角边BC aAC b斜边AB c. 如图以B为圆心a为半径作圆交AB及AB的延长线分别于D、E则BD BE BC a. 因为BCA 90o点C在B上所以AC是B 的切线. 由切割线定理得 即 . 【证法7】作直角三角形的内切圆证明 在RtABC中设直角边BC aAC b斜边AB c. 作RtABC的内切圆O切点分别为D、E、F如图设O的半径为r. AE AFBF BDCD CE r r 2r 即 . 即 又 . 【证法8】利用反证法证明 如图在RtABC中设直角边AC、BC的长度分别为a、b斜边AB的长为c过点C作CDAB垂足是D. 假设 即假设 则由 可知 或者 . 即 ADACACAB或者 BDBCBCAB. 在ADC和ACB中 A A 若 ADACACAB则 ADCACB. 在CDB和ACB中 B B 若BDBCBCAB则 CDBACB. ACB 90o ADC90oCDB90o. 这与作法CDAB矛盾. 所以 的假设不能成立. . 2.3 高等代数中证明 【证法1】二行n 列式面积证明方法 先给出定理设A1A26767An.为实平面上的n 边形坐标AiXiYi1in 3n且其顶点依次为正向绕行则n 边形的面积为。 这个定理的证明见文1. 证明设直角三角形的三条边为建立直角坐标系如图所示 已知正方形ABCD 其顶点坐标分别为由上述定理可得 【证法2】利用多列米定理证明 在RtABC中设直角边BC aAC b 斜边AB c如图. 过点A作ADCB过点B作BDCA 则ACBD为矩形矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理 圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和 有 AB DC cAD BC a AC BD b 即 . 【证法3】利用向量证明 已知直角BAC中 ABc BCa ACb ACB90 求证a2b2c2 证明以两直角边为坐标数轴 ACB90 3 勾股定理在现实生活中的相关应用 1. 求证三角形中的某一个角是直角 例1 如图1 已知AB C 中 AD 是BC 边上中线AB AD 1AC 5求证BAD 是直角. 证明: 作AE 垂直BC 于E.因为AB AD 1 所以BE ED.设ED x则BD DC 2 EC 3 在RtA ED 中由勾股定理得 AE2