浅谈反证法在在中学数学中的运用.doc

玉 溪 师 范 学 院（2008届 毕 业 论 文）题 目 浅谈反证法在中学数学解题中的应用院 系 数学系 专 业 数学与应用数学 指导教师 官晓莉 学生姓名 王明争 学生学号 2004011147 浅谈反证法在中学数学解题中的应用 玉溪师范学院数学系04级（1）班 王明争 2004011147 指导教师：官晓莉摘要：反证法是从问题的反面思考的证明方法,此方法可使许多问题处理起来相当简捷，所以反证法是一种常用的、重要的数学思想方法。本文从以下几方面论述了反证法在中学数学解题中的应用，1. 证明不可能命题；2. 证明“唯一性”命题；3. 证明有些涉及无理数的命题；4. 证明有些几何量的画法；5. 证明涉及“至多”和“至少”的问题。关键词：反证法 解决数学问题 应用前言有些命题采用直接证法不容易、甚至不能证明，这时，可以采用一种间接证法反证法，其逻辑根据是排中律。因为有时证原命题不易下手，则改证与其等价的逆否命题，从而使原命题得证。反证法是证明原命题的逆否命题，即要证命题“若A则B”成立，需证明其逆否命题“若不B则不A”成立，也就是说，要把原命题中的结论加以否定，然后经过各种推理而达到否定原命题中的已知条件，既要达到与已知条件、公理、定理相矛盾的结论。这就间接证明了原命题。一、 反证法的定义证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。二、 反证法的证明步骤、关键和适用范围步骤： 1. 假设原命题的反面结论成立；2. 把这个假设看作是已知条件，从这个条件出发推出与已知条件、定理、公理相矛盾或自相矛盾的结论；3. 从而肯定原命题的结论成立。应用反证法的命题结论，必须肯定明确，非此即彼，不能模棱两可。关键：应用反证法推理的关键在于推出矛盾，要注意：1. 要想据理推出矛盾，切不可离开已知条件去主观臆造所谓“矛盾”，必须同直接证法一样，紧扣条件，方能推出矛盾；2. 推证过程必须步步有据，否则，即使推出矛盾，也很难说明命题的反面不成立。适用范围：证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而否定则比较浅显。常见的（1）证题的结论是否定型的；（2）证题的结论涉及唯一性的；（3）证题的结论涉及到无穷性的；（4）证题的已知条件能直接导出的知识很少的。三、 在解题中的应用1. 证明不可能命题 证明不可能问题，可先假设原命题会出现这种可能，由此出发推出与已知条件或定义或定理或常识相矛盾的结论或推出自相矛盾的结论即可。例1数列a满足a=2b,a=2b-(b是不为零的常数)，求证：b不可能是数列 a的项。分析：此题用有关数列的知识来解决有很大的难度，我们可反其道而行之，证明它的逆否命题成立，即也就肯定了原命题的结论。证明：（1）因为b不等于0，所以即n=1时命题成立；（2）假设n=k时，命题成立，即若，则2b-=b,解之的a=b,这与a矛盾。，即n=k+1时命题成立。例2. 求证：圆内非直径的两弦不可能互相平分。已知：如图，AB，CD是圆O内非直径的两弦。求证：AB，CD不能互相平分。分析：本题结论的反面AB和CD能相互平分，十分简单、明确，故可试用反证法。证明：假设AB，CD互相平分于一点。由已知条件P点与圆心O不重合。连结OP，那么OP。也就是过P点有两直线AB，CD同时垂直于OP，这与定理“经过一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”相矛盾。所以，AB，CD不能互相平分。图1评注：一般地，涉及弦中点问题的可连结圆心与弦中点，这样，就能利用垂径分弦定理。2. 证明“唯一性”命题在几何中需要证明符合某种条件的图形只有一个时，称为“唯一性”问题。当然，也可以用同一法来证明，但要注意检查命题是否符合同一原理，有的题目不容易看出是否符合同一原理，此时用反证法要简捷。例1. 证明一个圆只有一个圆心。分析：可事先假设一个圆有两个圆心，以此为条件推出与已知相矛盾的结论。即用反证法来证之。证明：假定一个圆有两个圆心O和A，在圆内作弦CD，取中点E，连接OE、AE，则OECD，AECD，这样过直线CD上一点E同时有两条直线OE、AECD，与经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线的基本性质矛盾。所以，一个圆只有一个圆心。 图2例2. 求证：由直线L外一点A只能引一条直线垂直于直线L。已知：直线L和L外一点A 。求证：过A只能引一条直线垂直于L。证明：假设过A可引两条直线AB和AC垂直于L，交L于B、C点，那么，。所以在中， 。这与三角形内角和定理矛盾。故原命题成立。 图33. 证明无理数的命题 由于无理数的特殊性，有关无理数的证明题，用一般的方法很难给出证明，此时用反证法往往比较简捷。例1.证：实数是无理数。证明：假设不是无理数，而是有理数，设=，是既约分数，那么，2=q,q是偶数，因而q也是偶数，设q=2n，于是有2=4n即=2 n，这样p也是偶数。由于p、q同是偶数，与是既约矛盾。故是无理数。 例2. 证明若p是有理数，q是无理数，则p+q定是无理数。分析：此题涉及到了无理数，用一般的方法很难下手，此时用反证法来证明却是很简捷的。 证明：假设p+q不是无理数，而是有理数 。设p+q= ,p= ,且m、n、a、bZ + q= q=-= 又 mb-naZ 且nb0 q=是一个有理数,与条件中的q是无理数相矛盾。故原命题成立。4. 证明有些几何量的画法。有些几何图形画出来了以后，需要验证它的正确性，此时就需要进行证明，而反证法就是证明这种题的最好方法。例1.在两个相交平面M和N内，各画一条直线，使成为异面直线。并用反证法证明你所画的直线，确是异面直线。 画法1在交线a上任取两点A和B，在平面M内过A任画一直线AC，在平面N内过B任画一直线BD，则AC和BD就是所要画的异面直线。图4证明：（反证法）假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD应在同一个平面p内。设直线AC和点B在平面p内，直线AC和点B在平面M内，于是有平面M与平面P重合；设直线BD和点A在平面P内，直线BD和点A在平面N内，于是有平面N和平面P重合。所以平面M与平面N重合，这与已知矛盾。故画法正确。画法2设平面M与N相交于直线a,在平面M内画直线b/a,在平面N内画与a相交的直线c,则b、c就是所要画的异面直线。证明：（反证法）（一）假设b/c,而b/a,则有a/c,这与画法a与c相交矛盾，故b不平行于c.(二)假设b与c相交，不妨设bc=A,则有： 由Ab,bM知AM， 且Ac,cN, 所以AMN 又Aa且Ab， 所以ab=A,这与a/b矛盾，故b与c也不相交。 综上所得b与a异面。 图55. 证明有关“至多”和“至少”的问题对于有关“至多”，“至少”的数学命题的证明，用一般的方法较难，利用反证法常常比较奏效。例1.若a、b、cR,a=x求证：a、b、c中至少有一个大于0。分析：此题属于“至少”型题目，用反证法十分奏效，而用别的方法却很复杂。证明：假设a、b、c都不大于0，即，即a+b+c,a+b+c=x=+，由于且+，所以a+b+c0与假设矛盾。故a、b、c中至少有一个大于0例2.若a、b、c为正实数，关于x的方程：中至少有一个方程有两个不等的实数根。证明：假定题中三个方程都没有两个不等实数根，即=32（a+b+c）,但是如果依题设a、b、c全大于0，有a+b+c0,与推论矛盾，假定不成立，故原命题成立。反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。以上论述说明了反证法是一种重要的数学思想方法。我们在以后的学习中要学会使用这种方法来解决许多的数学问题。致谢：忠诚感谢官晓莉老师在写作过程中的指导和帮助。参考文献：1贾遂，思路与解题技巧，山西人民出版社，1985、52陈明名、刘彬文、梁仁仰，中学数学解题技巧，北京理工大学出版社，1990、7 3翁抗生、陈桂隆，初中数学解题方法与技巧，广东科技出版社，1988、44王向东、刘子芳，初中数学实用解题方法与技巧，上海科学文献出版社5王向东、贾士代，中学数学实用解题方法与技巧，兵器工业出版社Gneneral analysis of method about giving evidence to the Contrary applay in solving mathamtic problems in the middle school. Yuxi Normal university Department of Mathamatics Class1 Grade 2004 Wang Mingzheng 2004011147 The guide teacher:guan xiao liAbstract:the method of giving evidence to contrary is a proved method which thinking from the contrary of problems.It is a kind of indirected proved method which makes lots of problems easier while dealing with them.It is a pracxical and important thinking method in mathematic .The paper with expound the applyment of giving evidence to contray in solving mathamtic problems from below aspects .First, proving impossible proposition .Secong, proving unique character of proposition.Third, proving some proposition about irrational numbe