浅议数列发散的方法.doc

本科学年论文 论文题目论文题目： 浅议数列发散的方法 学生姓名： 胡泽军胡泽军 学 号： 专 业： 数学与应用数学数学与应用数学 班 级： 完成日期： 20062006 年年 1212 月月 2020 日日 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 论文题目 浅议数列发散的方法 内 容 摘 要 本文论述了数列发散的概念并研究了证明发散的方法。因为数列发散是一个和数列收敛相 对应的概念，所以本文首先论述了数列收敛的概念， ，其后引出数列发散的概念，从而进一步研 究了数列发散的五种方法。本文共涉及到子数列、无界数列、和数列、柯西收敛准则、和数项 级数等相关内容。 关键词：数列发散 数列收敛 柯西收敛准则 数项级数 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 目录 序言 .1 一、数列 n 1 和数列n的极限 .1 （一）数列 n 1 和数列n的极限1 （二）数列发散2 1.数列发散的概念 2 2.利用数列发散的定义证明数列发散 3 二、数列发散的方法 .4 （一）利用子数列判别数列发散4 1.子数列 4 2.利用子数列判别数列发散 5 （二）无界数列一定发散6 （三）利用柯西收敛准则的否定叙述判别数列发散6 （四）收敛数列和发散数列的和一定是发散数列7 （五）利用数项级数的敛散性判别数列的敛散性8 参 考 文 献9 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 1 序言 数列发散是一个和数列收敛相反的概念，因此，本文从数列收敛的定义入手，介绍了数列 发散的定义，从而进一步研究了数列发散的几种重要的方法. 一、数列和数列的极限 n 1 n （一）数列和数列的极限 n 1 n 为了引入数列发散的概念，我们有必要先讨论和这两个数列的极限.我们给出数列 n 1 n 收敛的定量定义. 定义：设有数列，是有限常数.若对任意，总存在正整数，对任意正整数， n aa0N 对任意正整数，有Nn ， aan 则称数列的极限是（或是数列的极限）或数列收敛于，是收敛数列） ，aa n a n aa n a 表为： 或 aan n lim)(naan 数列收敛于，用逻辑符号可简要表为： n aa 有aan n lim, 0NnNN aan 下面我们结解决以上两个数列的极限问题. 对于数列，我们可以利用数列极限的定义来证明其极限为 n 1 0 证法：直接结不等式，求 aann 证明：，要是不等式0 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 2 nn 1 0 1 成立，解得. 1 n 取 ，于是 n N 1 ，有0 N n N 1 Nn 0 1 n 即 收敛于0 1 lim n n n 1 0 而对于数列明显有：，不等式n0 （且）都不成立. anRan 原因是：如果，则.n an 则 ,都不，当时，使Ra N n N 1 Nn 成立 an 此时，我们就说数列时发散数列.n （二）数列发散 通过上一节的讨论，我们初步对数列发散有了一定的了解，现在我们定量的研究数列 发散的概念 1.数列发散的概念 定义：设有数列，是任意实数，若存在一个，对于任意的正整数，总存在 n aa0N 正整数，有Nn ，aan 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 3 则称数列是发散数列，如果是一个固定的常数，则称数列在发散于. n aa n aa 相对于数列收敛于的逻辑符号表示法，数列发散于也可以用逻辑符号表示为： n aa n aa 有aan n lim, 0NnNN aan 对于上式，如果是任意实数，那么数列就在实数域上发散.a n a 2.利用数列发散的定义证明数列发散 这种方法是证明数列发散很基础的方法.其思想就是数列发散的定义.所以利用这种方证明 数列发散，只需证明 有, 0NnNN aan “”是证题者给出的，给出之后，证题的关键就是找一个，使得 NNN0 时，有不等式成立.因此，找是证明数列发散问题的关键.Nn aan 例 1. 证明数列发散. n 1 证法：只需证明，都不是数列的极限.Ra n 1 证明：，分两种情况：1 0 当. ，有a0 NN，奇数Nn)( 0 ；aaa n 11) 1( 0 0 当. ，有a0 NN，偶数Nn)( 0 ；）（aaa n 11) 1( 0 0 即数列发散. n 1 例 2. 证明在处发散. 1n n 1n 证明：，有,0 2 1 0 NNNn 0 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 4 1 0 1 0 0 0 0 n n n n 2 1 0 1 lim n n n 例 3. 证明：数列发散. n ) 1(2 证明：，分两种情况证明.1 0 当时，有a2 NN)(2 NkNkn ；aa k 1) 1(2 2 1 0 aa k 3) 1(2 12 当时，有；2a NN)(12 NkNkn1 0 从而，,有，即数列发散.Raa n n ) 1(2lim n ) 1(2 二、数列发散的方法 （一）利用子数列判别数列发散 1.1.子数列子数列 讨论数列的敛散性，经常要涉及子数列.现在我们给出子数列的定义. 定义：设有数列。若是一列正整数， n a k n), 3 , 2 , 1( k 则称是数列的子数列. 4321 nnnn k n a n a 在数列中，依次任意选取无限多项就是数列的一个在数列.例如，在数列中， n a n a n a 依次选取无限多项： 就是数列的一个在数列. n a 特别的，选取与kn2 k ， NK,有12 k kn ： 12 k a , 12531k aaaa 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 5 与 ： k a2 , 2642k aaaa 分别称为数列的奇数列与偶数列. n a 关于在数列的序号说明如下： nk a k n 1）是的函数，即，不同的就是不同的在数列.是子数列中的第 k nk)(knk m n a nk a 项，它是原数列中的第项.m n a m n 2），总有.显然，当无限增大时，也无限增大. Nk k nkk k n 2.利用子数列判别数列发散 我们在这一部分给两个定理。 定理 1.若数列任意一个子数列发散，则这个数列发散. n a n a 定理 2.若数列的奇、偶子列都收敛，但是奇子列收敛于，偶之列收敛于，且.则 n aab 数列发散. n a 下面我们对上述两个定理进行证明。 证明定理 1：（反证法） 假设收敛，那么的任意一个子数列必收敛，这与题设项矛盾. n a n a 定理 1 成立，证完. 证明定理 2: （反证法） 假设收敛，那么其奇、偶子列必收敛与用一个数.这与题设矛盾. n a 定理 2 成立，证完. 例.证明数列发散. n ) 1( 证明：当为奇数时n 1) 1(lim n n 当为偶数时n 1) 1(lim n n 数列的奇子列收敛于，而偶子列收敛于. n ) 1(1 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 6 由定理 2 得，数列发散.1 n ) 1( （二）无界数列一定发散 我们知道“单调有界数列必收敛” ，那么，无界数列是否一定发散呢？ 定理 3 无界数列一定发散. 证明：(反证法) 设数列收敛于，那么由极限定义，一定存在正整数,当 时，有 n aaNNn ，即存在时，又令分别为前项中1 aanNn 11aaa n mM,1N 的最大值与最小值，那么又对任意的正整数有 nma, 1min n a ma, 1max 即奇数列有界，从而无界数列一定发散. n a 注：证明中的“ ”可以是任意正整数分别表示两个书中的较小值和较1ba,minba,max 大值. 但是注意：定理 3 的逆命题不成立. 例如数列没极限，但是有界.1 , 0 , 1 ,10, 0 例 证明数列发散. 2 n 证法：只需证明数列无界. 2 n ,要是不等式 NM 成立.Mn 2 解得 取 Mn M 对,都存在一个 使得 成立. NM NnMn 2 数列无界. 2 n 数列无界. 证完. 2 n 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 7 （三）利用柯西收敛准则的否定叙述判别数列发散 柯西收敛收敛准则：数列收敛，有 n a0 NNNmn , mn aa 柯西收敛收敛准则的否定叙述：数列发散， n a0 0 ，有 NNNmn 00, 00 mn aa 0 注：柯西收敛收敛准则有两个优点:一是它不需要借助数列以外的任何数，只需根据数列自 身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性；另一个是它不仅是数列收敛的充分条件，还 是必要条件。因此，应用其否定叙述证明数列的发散性是证明数列发散的很重要的方法. 例. 证明若，则数列发散. n yn 1 3 1 2 1 1 n y 证明.，K, 有0 2 1 0 NNNmm2 , mmm yy mm 2 1 2 1 1 1 2 mmm2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 m m 根据柯西收敛准则的否定叙述，数列发散. n y （四）收敛数列和发散数列的和一定是发散数列 定理：收敛数列和发散数列的和一定是发散数列. 对于这个定理的证明我们可以用反证法. 证明：假设收敛数列和发散数列的和数列是，且是收敛数列. n a n b n c n c 那么的的任一子数列必发散，又因为和是的子数列 n c n a n b n c 所以数列和必收敛，这与题设矛盾，所以假设不成立，原命题成立，证完. n a n b 例：证明数列发散 n n 1 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 8 证明：这个数列可看作是由数列和数列所组成的 n 1 n 因为数列收敛于 n 1 0 且数列是发散的数列n 由以上定理可知：它们的和数列是发散数列 n n 1 证完. （五）利用数项级数的敛散性判别数列的敛散性 我们知道，级数的敛散性（收敛于发散）是借助于它的部分和数列的敛散性定义的.反 之，数列的敛散性也可以归结为级数的敛散性.事实上，设有数列.令 n S . , 112211nnn SSaSSaSa 显然， n aaaS 21 即数列的敛散性可归结为级数的敛散性，因此，我们可以借助与研究级数的敛散性来 研究数列的敛散性. 例. 什么是发散数列，发散数列能求前项和吗？n 解：发散数列就是不能求和，对于数列就是一个典型的发散数列，当趋于无穷大nn 时，求和时没有极限的，这是发散数列的典型特点. 因为数列的前项和为，但是当时，nn 2 )1 (nn Sn n n S 即不收敛.证完. n S 数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法 9 参 考 文 献 1孙清华， 孙昊，数学分析内容、方法与技巧（上） B.武昌：华中科技大学出版社