航空旅客人数增长预测问题的数学模型.doc

航空旅客人数增长预测问题的数学模型03级数学与应用数学信息技术教育本科班 陈少广指导老师：简国明，副教授1 问题的提出国内客运市场中航空客运的发展趋势与国内生产总值（GDP）、消费水平和客运需求之间有着很强的关联度、牵制性，客运需求量的增长与经济增长量密切相关，它是随着国家经济发展而上升。当然它也会受到社会和经济发展因素的冲击而出现波动变化，但从我国目前社会经济的稳定发展状况看，客运需求仍呈现稳定增长的趋势。航空公司、机场及相关企业只有对未来我国航空旅客运输量做出较为准确的预测，才能准确把握行业发展趋势，制定正确竞争和投资的战略。机场的新建和改、扩建以及航空公司机队调整、购置飞机等项目的决策都要依据科学的航空运输量预测值来决定。民航运输系统的各组成部分的投资规模和寿命期内的营运成本以及寿命期内的经济效益也取决于对未来航空量的准确预测。所以本课题对未来航空旅客人数增长预测是很有实际价值的。2 模型假设与符号约定2.1 模型的假设1）航空旅客人数数量的增长主要由国内生产总值（GDP），人均消费水平和人均国内生产总值三个因素决定。2）飞机油价在短期内不会有太大的波动。3）近期内国内政治稳定，经济能稳定发展，不会发生战争、严重的自然灾害或传染疾病等影响社会稳定。2.2符号的约定1）第年广东省航空旅客人数（单位：万人）：2）第年广东省国内生产总值（单位：亿元）：3）第年广东省人均消费水平(单位：元)：3 模型的建立与求解3.1 二元回归模型的建立统计2000年以来，每半年航空旅客人数、国内生产总值和人均消费水平的数据，表格如下：年份旅客(万人)GDP(亿元)人均消费水平(元)年份旅客(万人)GDP(亿元)人均消费水平(元)2000上半年612.74637.92498下半年702.75024.425092001上半年736.25110.92514下半年797.75536.825242002上半年861.15633.12763下半年9496102.528762003上半年670.66540.42971下半年1090.47085.532192004上半年1157.37698.93497下半年1270.68340.537892005上半年1831.510416.64040下半年2191.111284.743772006上半年2107.312464.94680下半年2431.413503.75071（表一）20002006年航空旅客人数、GDP和人均消费水平从(表一)能看出旅客人数和GDP、人均消费水平大概成正比关系，现在运用数学软件MATLAB对数据进行描点画线，大致分析了航空旅客人数和其他两者的关系，利用上表数据做出航空旅客人数和国内生产总值的散点图（图一），以及航空旅客人数和人均消费水平的散点图（图二）。(图一) 航空旅客人数和国内生产总值散点图 (图二) 航空旅客人数和人均消费水平散点图从图一可以发现，随着国内生产总值的增加,航空旅客人数的值有明显的直线增长趋势,假设两者是由线性关系确定的,图中直线就是两者的线性模型 （1）拟合的。从图二可以发现，随着人均消费水平的增加，航空旅客人数的值有向上弯曲增长的趋势，假设两者是由二次函数关系确定，图中的曲线就是两者的二次函数模型： （2）拟合的。综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型 （3）（3）式右端的和称为回归变量（自变量），是给定国内生产总值、人均消费水平时，旅客人数的大概数量，其中的参数，称为回归系数，由表一的数据估计，影响的其他因素作用都包含在随机误差中，如果模型选择得合适，应大致服从均值为零的正态分布。3.2 二元回归模型的求解模型求解：在MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，使用格式为：b,bint,r,rint,stats=regress(y ,x ,alpha)其中输入y为模型（3）中y的数据（n维向量，n14），x为对应于回归系数，（ ）的数据矩阵1 （n*4矩阵，其中第1列为全1向量），alpha为置信水平（缺省时0.05）；输出b为的估计值，常记做，bint为b的置信区间，r为残差向量yx，rint为r的置信区间，stats为回归模型的检验统计量，包含有3个值，第1个是回归方程的决定系数（是 相关系数），第2个是F统计量值，第3个是F统计量对应的概率值。代入相应数据得到如下结果： 预测得到未来航空人数为：年份旅客人数(万人)年份旅客人数(万人)2007上半年2887.352007下半年3356.352008上半年3852.342008下半年4275.272009上半年4725.212009下半年5202.082010上半年5706.172010下半年6236.972011上半年6795.012011下半年7379.98（表二）20072011年航空旅客人数的预测结果3.3 GM(1，1)灰色模型的建立3.3.1 灰色模型在预测航空旅客人数的适用性灰色理论认为，一切随机变量都是一定范围内变化的灰色量，一切随机过程都是一定范围内变化的灰色过程。对灰色量，不是从找统计规律的角度通过大量样本进行研究，而是用数据生成的方法去开拓发现寻找潜藏在杂乱无章的数据中的规律，用参数模型的方法建立预测模型。灰色预测模型建立机理是根据系统的普遍发展规律，建立一般性的灰色微分方程，然后通过对数据的拟合，求得微分方程的系数，从而获得灰色预测模型方程。航空旅客人数的预测要涉及很多的因素，包括有很多不确定的影响，甚至是无法估计的。同时一些可确定的数据对人数的影响方式是不能完全估计出来的。由以上讨论可知，航空旅客人数的预测具有一定的灰色性，可以用灰色理论的方法来分析。3.3.2 GM(1,1)模型的建立 1）GM(1,1)建模序列: 原始数据 2）AGO序列： （ ） 3）的均值序列： （ ） 4）中间参数C,D,E,F 5) GM(1,1)模型的参数a和b： 6）建立GM(1,1)的白化响应式(航空人数的预测模型) （4） （5）3.4 GM(1，1)灰色模型的求解年份旅客(万人)年份旅客(万人)2000上半年612.7下半年702.72001上半年736.2下半年797.72002上半年861.1下半年9492003上半年670.6下半年1090.42004上半年1157.3下半年1270.62005上半年1831.5下半年2191.12006上半年2107.3下半年2431.4（表三）20002006年航空旅客人数运用表三的原始数据，生成AGO序列和均值序列。算出中间参数C、D、E和F： 可推算出GM（1，1）模型的参数、：代入GM(1,1)的白化响应式（4），（5）可以递推出2007年后未来五年的航空人数（见表四）： 年份旅客人数(万人)年份旅客人数(万人)2007上半年2214.32007下半年3068.72008上半年3478.42008下半年3942.72009上半年4469.02009下半年5065.52010上半年5741.62010下半年6508.12011上半年7376.82011下半年8361.4（表四）20072011年航空旅客人数的预测结果4 模型的检验4.1 从考虑置信区间优化回归模型在二元回归模型的求解中，考虑回归系数的置信区间bint值 : -1663.4,1781.4; 0.0012234,0.50207;-1.364,0.73438; -0.00013,0.00017可以发现，的置信区间不仅包括零点，还非常小，说明模型中不是太显著的（对影响不大）。在模型的进一步优化中可以不考虑。模型中把和作为独立变量考虑了，如果优化模型，可以考虑再引进一个乘积的变量，综合两者的影响。优化后的模型为： （6）4.2 误差检验在求解灰色模型中,用前六年的数据递推出2006年的旅客人数,与实际的2006年旅客人数比较,可以知道灰色模型的精确度可以到达很高（可以超过90）：年份实际数据预测数据结果误差值误差比(%)2005上半年1831.521775.6755.853.1452916362005下半年2191.092047.81143.286.9967428622006上半年2107.272096.3710.90.5199463842006下半年2431.392525.53-94.14-3.727534419（表五）20052006年预测结果和实际数据的对比5 模型的评价本文应用了回归模型和灰色模型对航空旅客人数进行了预测，并将两组模型的预测结果与之前两年的数据进行对比，发现两组数据都比较吻合，加上原始数据来源都比较精确，故其研究结果也具有很高的参考作用，为广东省民航企业的经营实践以及政府有关民航业的政策制定提供了有益的参考。致 谢：直至毕业论文写作完毕。回想起论文的写作过程，一直得到简国明副教授对我的关心、支持与帮助，对论文的指导，一次次稿件的修改并提出很多改进的意见。简老师知识渊博，工作认真负责，细心辅导，从2000年开始一直担任我校大学生数学建模竞赛主教练本人也参加过数学建模培训，在简老师的细心指导下，我的数学思想、方法以及综合素质都有了很大的提高在本篇论文的选题、论证、撰写中得到了简老师的悉心指导，从选题到写论文，简老师一直引导着我撰写论文的关键方向，查找资料、帮助我解决各种疑问、并在修改论文时提出很多的意见和建议，论文能如期完成，是与简老师的指导、教育是分不开的在此，本人特向简老师表示衷心的感谢并祝愿简老师身体健康、工作顺利！参考文献1 姜启源. 数学模型(第三版)M.北京.高等教育出版社.2003.82 刘英.浅议我国民航主要运输指标增长速度与GDP增长速度的关系，民航经济技术，2000.93 邓聚龙.灰预测与灰决策M.修订版.武汉:华中科技大学出版社,2002.94 周严，杨岚，周家启.电力系统负荷灰色预测的新方法J.电力系统及其 自动化学报,1998,10(3):45-505 谢立等.对我国航空旅客构成的因素与分析，国际航空，2