高等数学在中学教学中的应用毕业论文.doc

论文材料-5密级： 学 士 学 位 论 文 THESIS OF BACHELOR题 目 高等数学在中学教学中的应用 系 别： 数学系 专业年级： 数学与应用数学专业 20 级 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称： 讲师 起讫日期： 2013年3月7日至5月27 目 录摘要1关键词1Abstract1Key words 1引言11 初等数学与高等数学的联系21.1 知识方面的联系21.2 思想方面的联系32.高等数学在中学数学中的应用32.1 高等数学原理与中学数学教学33 初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系54 微积分在中学数学解题中的指导作用85 总结8参考文献 9致谢 9高等数学在中学教学中的应用数学与应用数学学生 指导教师：摘要：高等数学是在初等数学的基础上发展起来的,与初等数学有着紧密的联系.站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面.本文就高等数学在中学数学教学中的应用问题进行了简要论述关键词： 高等数学 思想 应用The application of higher mathematics teaching in middle schoolStudent majoring in mathematics Tutor Abstract：Higher mathematics is developed on the basis of elementary mathematics, they are closely linked. Standing in the perspective of higher mathematics of middle school mathematics problems will become more profound and comprehensive. In this paper, the application of higher mathematics in middle school mathematics teaching were described brieflyKey words：Higher mathematics; thought; application引言 近几年来高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”,“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”,有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等.这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样“新的大学生一入学就发现他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，但是毕业以后当了老师，他们又突然发现要他们按老师的教法来教传统的初等数学，却由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，却对他们对教学毫无影响.”然而现在在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，这可以说是数学发展的一种必然趋势，所以现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革.所以高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了.本文针对这种情况探讨了一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用.1 初等数学与高等数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”).无论何种方法都把第二发展时期叫做“初等数学时期”这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法所谓初等数学就是指常量数学,高等数学就是指变量数学,并把笛卡尔(RDescartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志,而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学,视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学.当然由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象两者没有严格的概念区别.事实上,数学科学是一个不可分割的整体,它的生命力在于各部分之间的有机联系,只从学科表面上看难以看清两者之间的内在联系,这就需要深入研究初等数学,理清其中最基本的思想和方法,努力寻求初等数学和高等数学的结合点.1.1 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高它能解释许多中学数学未能说清楚的问题如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等从以下几个方面说明首先中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上接着讲多项式的整除理论,最大公因式理论.中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义,接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定.中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义,复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数实系数一元n次方程根的特点,有理系数一元n次方程有理根的性质及求法,一元n次方程根的近似解法及公式解简介.中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法,高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子,中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子,中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.1.2 思想方面的联系中学数学思想和方法主要体现为三个层次第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等,几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式；第二层次指适用面很广的一些“通法”如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等；第三层次指数学观念即人们对数学的基本看法和概括认识如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化.高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法,第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法,在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练.除上述所举的思想和方法外,高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学形成和发展学生的数学思想和方法,会用数学思想和方法来解决问题.2 高等数学在中学数学中的应用用高等数学的观点、原理和方法认识、理解和解决中学数学问题是我们大多数人的共同目的,也是高等数学价值的一种体现,尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等方面体现非常明显.2.1 高等数学原理与中学数学教学首先注重高等数学对初等数学的指导作用,运用原理把握本质.多数教育工作者在实践中认识到教师只有深人研究高等数学才能深刻把握初等数学的本质才能使数学课堂教学不失科学性.例如有这样一道题目例1.证明： . （1） 证明 于是 函数即（1）式得证. 特别，若在（1）式中， （2）若在（2）式中，若在（1）中，令若在（1）中，令通过这样一个题目我们可以认识到教师只有深人研究高等数学才能深刻把握初等数学的本质，使数学运用起来更自如.3 初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作是一个值得研究的课题.俗话说，站得高才能看得远.因此笔者认为,作为中学教师除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外,还应善于用高等数学方法解决中学数学问题,特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧,提高教师专业水平,促进中学数学教学.下面略举几例说明.例2.证明：当 （i=0,1,2,n）时，有不等式（调和平均数） （几何平均数） （算术平均数）证明 分别证明两个不等式，首先证明右端不等式.设，f(x)在内为凸函数，由詹生不等式，令有,或 即 . 其次证明左端不等式，只须令，有 ，或 ，即 综上所证有 .例3.证明:当时，有不等式. 证明 :设 令 ，即，解得驻点，且，有，有，知函数在点取极小值，其极小值为 由于在上连续，且只有一个极小点，因此这个极小点就是最小点，则，有 . 令，于是， 即 例4.已知数列解：设 . （1）显然 当.当.对（1）式两边关于求导，得.从而 故的原函数为 . （2）将 解此方程组，得并将其代入（2），且令，有 即 高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题,它常能起到以简驭繁并能使问题得以深化和拓广的作用.以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解决初等代数和初等几何且收到了很好的效果.在教学过程中结合具体内容不失时机地介绍给学生对于丰富学生的解题方法特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案确定初等解法的路线构造习题检验结果都有重要的作用4 微积分在中学数学解题中的指导作用微积分在高等数学里占有非常高的地位,它之所以能解决初等数学不能解决的问题其根本原因是在初等数学的基础上它引进了一种新的思想方法极限法.俗话说,站得高才能看得远.笔者认为作为中学数学教师利用微积分思想解决中学数学问题特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁而用微积分思想则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧提高教师专业水平.例5：求的和.解 已知二项式公式 ，对上式两端分别关于从0到1进行积分运算，得 即 5 总结加强用高等数学的思想方法来指导中学数学研究着眼研究，中学数学与初等数学的接轨处，立足于更高观点，教学中用高等数学的方法去剖析初等数学，能培养学生面对新问题、新情境及综合运用所学知识解决问题的能力，对提高中学生的数学素养有着重要的意义.中学数教师善于用高等数学的观点处理中学数学中的问题,不但体现了高等数学具有居高临下的作用,而且对中学数学中有些较难的题型通过用高等数学的理论与方法较易解决,充分现了高等数学的优越性.高等数学能在更高层次上认识初等数学特别是一些接轨处,不但让中学数学教师能轻松驾驭数学课堂，还使学生感到高等数学与初等数学存在联系，增加学习数学的兴趣.参考文献：1 数学分析(上册)华东师范大学数学系编.北京：高等教育出版社，2001.2 数学分析 下册 华东师范大学数学系编.北京：高等教育出版社，2001.3 高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.-3版.-北京：高等教育出