直线、圆的位置关系.ppt

第五节 直线、圆的位置关系,一、直线与圆的位置关系（圆心到直线距离为d， 圆的半径为r）,在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？,提示：应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条，若点在圆外，切线应有两条.,二、圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|),r1r2,r1r2,|r1r2|dr1r2,|r1r2|,|r1r2|,1已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a， bR)对称，则ab的取值范围是 ( ) A(， B(0， ) C( ，0) D ，),解析：配方得(x1)2(y2)24，圆心(1,2)在直线上 ab1，,答案：A,2过坐标原点且与圆x2y24x2y 0相切的直线的 方程为 ( ) Ay3x或y By3x或y Cy3x或y Dy3x或y,解析：设方程为ykx，圆的方程可化为(x2)2(y1)2 ，圆心为(2，1)， 3k28k30k3或,答案：A,3已知0r 1，则圆x2y2r2与(x1)2(y1)22 的位置关系是 ( ) A外切 B内含 C相交 D相离,解析：两圆连心线长|O1O2| ， r1r2r ，|r1r2| r|，因为0r 1， 所以 r 2 1， r 1， 所以| r|O1O2|r ， 所以两圆相交,答案：C,4已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x 2y80，则两圆公共弦所在的直线方程是_,解析：两圆方程相减得x2y40.,答案：x2y40,5两圆x2y26x6y480与x2y24x8y440 公切线的条数是_,解析：两圆为(x3)2(y3)266和 (x2)2(y4)264， 两圆圆心距离 两圆相交，故有2条公切线,答案：2,直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只 有一个公共点)、相交(有两个公共点)三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数,已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR) (1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上； (2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离？,（1）用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求 圆心坐标,消去m.（2）比较圆心到直线的距离与 圆半径的大小.,【解】 (1)证明：配方得：(x3m)2y(m1)225， 设圆心为(x，y)，则 消去m得l：x3y30， 则不论m为何值，圆心恒在直线l：x3y30上,(2)设与l平行的直线是l1：x3yb0，则圆心到直线l1的距离为 圆的半径为r5， 当dr，即5 3b5 3时，直线与圆相交； 当dr，即b5 3时，直线与圆相切； 当dr，即b5 3或b5 3时，直线与圆 相离,1在本例条件下，求证：任何一条平行于l且与圆相交的直 线被各圆截得的弦长相等,证明：对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x3yb0，由于圆心到直线l1的距离 (与m无关) 弦长2 且r和d均为常数 任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长 相等.,1求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率 为 ，由点斜式方程可求切线方程若切线斜率不 存在，则由图形写出切线方程xx0.,2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可 得出切线方程 (2)代数方法 设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入 圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k， 切线方程即可求出,【注意】 过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在，千万别发生遗漏,3圆的弦长的求法 (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则 ( ) 2 r2d2. (2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y2)，B(x2，y2)两点， 解方程组 消y后得关于x的一元二次方程， 从而求得x1x2，x1x2，则弦长为 |AB| (k为直线斜率),已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线axy40与圆相切，求a的值； (3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2 ，求a的值,（1）设出切线方程易求.（2）利用d=r可求.（3）利用（ ）2=r2-d2求得a.,【解】 (1)由题意可知M在圆(x1)2(y2)24外， 故当x3时满足与圆相切 当斜率存在时设为y1k(x3)，即kxy3k10. 由 所求的切线方程为x3或3x4y50.,(2)由axy40与圆相切知 a0或a (3)圆心到直线的距离 又l2 ，r2， 由r2d2 ，可得a,2(2009天津模拟)过点(0，1)作直线l与圆x2y22x 4y200交于A、B两点，如果|AB|8，则直线l的 方程为 ( ) A3x4y40 B3x4y40 C3x4y40或y10 D3x4y40或y10,解析：圆的标准方程为(x1)2(y2)225.圆心为(1,2)，半径r5，又|AB|8，从而得圆心到直线的距离等于3.由点到直线的距离公式得直线方程为3x4y40或y 10.,答案：C,1判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与、 两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法 2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆 的方程作差消去x2，y2项即可得到,3两圆公切线的条数 (1)两圆内含时，公切线条数为0； (2)两圆内切时，公切线条数为1； (3)两圆相交时，公切线条数为2； (4)两圆外切时，公切线条数为3； (5)两圆相离时，公切线条数为4. 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系， 反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位 置关系,(2009四川高考)若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_,结合图形分析可知两切线分别过另一圆的圆 心，然后可求之.,【解析】 由题意O1与O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1AOA. 又|OA| ，|O1A|2 ，|OO1|5，而A、B关于OO1轴对称，所以AB为RtOAO1斜边上高的2倍，即|AB|2,【答案】 4,3(2009天津高考)若圆x2y24与圆x2y22ay60 (a0)的公共弦长为2 ，则a_.,解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y= 如图，由已知|AC|= |OA|=2. 有|OC|= =1，a=1.,答案：1,直线与圆的位置关系为历年考试命题的重点，多为选择、填空题.但也有许多以此知识为载体的创新问题，如2009江苏高考,考查了弦长问题，属中档题.,(2009江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24. (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2 ，求直线l的方程； (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等试求所有满足条件的点P的坐标,解 (1)由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在 设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心到直线l的距离为 d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2 ，所以 d 由点到直线的距离公式得 从而k(24k7)0，即k0或k 所以直线l的方程为y0或7x24y280.,(2)设点P(a，b)满足条件， 不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a)，k0， 则直线l2的方程为y-b=- (x-a) 因为圆C1和C2的半径相等，及直线 l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆 C2截得的弦长相等， 所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线 l2的距离相等，即,整理得|13kakb|5k4abk|，从而13kakb5k4abk 或13kakb5k4abk， 即(ab2)kba3或(ab8)kab5， 因为k的取值有无穷多个，所以,这样点P只可能是点P1( )或点P2( ) 经检验点P1和P2满足题目条件,(1)第2问部分同学没有进