线性微分方程的基本理论.ppt

4.1 线性微分方程的基本理论,线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论.,一、基本概念,及其各阶,均为一次的n阶微分方程，,n阶线性微分方程:,我们将未知函数,导数,称为n阶线性微分方程.,它的一般形式为:,式中,上的连续函数。,及,是区间,n阶线性齐次微分方程:,如果,式中的,则(4.1)变为,我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程,（4.1）称非齐线性方程。,上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。,关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的,存在惟一性定理.,定理4.1：如果(4.1）的系数,及右端函数 在区间 上连续，,则对任一个 及任意的,方程（4.1）存在惟一的解,满足下列初始条件,引入,称L为线性微分算子.,为常数.,性质3.2,线性微分算子:,性质3.1,例如:,二、齐次线性方程解的性质和结构,定理4.2 (叠加原理),如果,是方程（4.2）的n个解，,则它的线性组合,也是方程（4.2）的解，这里,是常数.,例1 验证,是方程 的解.,解: 分别将,代入方程, 得,所以为方程的解.,基本解组:,如果方程（4.2）的任意一个解,都可以表示为 ,是方程组（4.2）,则称,的基本解组。,线性相关:,对定义在区间(a, b)上的函数组,如果存在不全为0的常数 ，使得,在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关.,例2: 函数,在任何区间上都是线性,无关的，因为如果,(4.5),只有当所有的 时才成立.,式的左端是一个不高于n次的多项式，它最多可有n个不同的根 . 因此, 它在所考虑的区间上不能有多于n个零点, 更不可能恒为零.,注1：在函数 中有一个函数,等于零, 则函数,在（a,b）上线性相关。,注2：考虑到两个函数构成的函数组,如果,或,则在（a,b）上线性无关的充要条件为,或,在（a,b）上不恒为常数.,在(a, b) 上有定义,例3:,在任何区间上都线性无关.,在任何区间上都线性相关.,注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取,例4: 函数,上是线性,无关, 而在,上是线性相关的.,的区间。,事实上,和,在区间,上不是常数, 分别在区间,和,上是常数.,Wronskian 行列式:,由定义在区间（a, b）上的,k个k-1次可微函数,所作成的行列式,称为这些函数的Wronskian行列式,通常记做,定理4.3 如果函数组,在区间,(a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的 Wronskian,证明:,由假设知存在一组不全为零的常数,使得,依次将此恒等式对t微分, 得到n个恒等式,上述n个恒等式所组成的方程组是关于,的齐次方程组, 它的系数行列式就是Wronskian,行列式, 由线性代数的知识知, 要使方程组存在,非零解, 则必有,处不等于0,即,则该函数组在区间,注: 定理3.3的逆定理不一定成立.例,推论 4.1,如果函数组,的Wronskian行列式在区间（a, b）上某点,上线性无关。,显然对所有的t, 恒有,但,在,上线性无关.,事实上, 假设存在恒等式,则当,时, 有,当,时, 有,故,在,上线性无关.,定理4.4 若函数组,是方程（3.2.2）,在区间（a,b）上的n个线性无关的解,则它们的,Wronskian 行列式,在该区间上任何点都不为零.,证明: 用反证法,假设有,使得,考虑关于,的齐次线性代数方程组,其系数行列式,故它有非零解,现以这组解构造函数,由定理3.2 知,是方程(4.2) 的解.,又因为,即这个解满足初始条件,又,也是方程(4.2)满足初始条件的解, 由解,的惟一性知,由,不全为零, 知矛盾, 从而定理得证.,使得它的Wronskian 行列式,在区间（a,b）上的n个解。如果存在,则该解组在（a,b）上线性相关.,推论4.2：设,是方程 (4.2),推论4.3 方程（4.2）的n个解,在其定义区间（a,b）上线性无关的充要条件是在,存在一点,使得,该区间上,定理4.5 n阶齐次线性方程组（4.2）一定存在n,个线性无关的解.,下面几个定理给出了线性无关解组, 基本解组,及通解的关系.,证明:,由定理4.1 知, 方程满足初始条件,的解一定存在, 因为,所以这n个解一定线性无关, 故定理得证.,定理4.6 如果 是n阶齐次方程,（4.2）的n个线性无关的解。则它一定是该方程的,基本解组，即方程（4.2）的任一解,都可以,表示成,证明: 设,是方程 (4.2) 的任一解, 并且满足条件,考虑方程组,由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的,Wronskian 行列式在 处的值, 故它不为零.,因而上面的方程组有惟一解,现以这,组解构造函数,由解的叠加原理,和惟一性定理得,即,定理4.7 (通解结构定理),若 是方程（4.2）的n个线,性无关的解，则方程的通解可以表示成,其中,是任意常数 .,综上得到下列等价命题.,定理4.8,是方程（4.2）的n个解，,设,则下列命题等价,(1) 方程（4.2）的通解为,(2) 是方程的基本解组.,(3) 在(a,b)上线性无关.,(4) 存在,使,(5) 任给,有,定理 4.9 (刘维尔公式),注2：对二阶微分方程,若,是方程的一个解，则可得通解.,设是 与 不同解，则由刘维尔公式可以推得,用 乘以上式两端可得,由此得,取 则,为另一个解，因为,例5 求方程 的通解.,解：易知 为通解，所以,三、非齐次线性方程解的结构,定理4.10 n阶线性非齐次方程,的通解等于它所对应的齐次方程的通解与,它的一个特解之和。,(4.10),证明: 设,是方程 （4.10) 的一个特解，,是方程 （4.2) 的通解。,即证对于（4.10）的任意一解,总可以表示为,事实上， 因为,所以,于是,是方程(4.2)的基本解组.,定理 4.11 设 与 分别是非齐次线性方程,和,的解 ，则 是方程,的解。,证明：由已知可得,因为,所以,是方程,的解。,常数变易法求特解,是方程（4.2）的n个线性,设,无关的解， 因而 (4.2) 的通解为,(4.11),为求 (4.1) 的一个特解, 将(4.11) 中的 常数看成,关于t 的函数, 此时(4.11) 式变为,(4.12),将 (4.12) 代入 (4.1) 得到一个,所满足的关系式.,我们还需要另外 n-1个条件来求出,在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便, 我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件.,对 (4.12) 式两边对t 求导得,令,得到,对上式两边继续对t 求导, 并象上面的方法一样,我们得到,继续上面的做法, 直到获得第 n-1 个条件,最后, 将上式两边对t 求导得,将上面得到的,代入 (4.10), 得到,由n 个未知函数,所满足的方程组,该方程组的系数行列式恰好是 (4.2) 的n 个线性,无关解的 Wronskian 行列式, 故它不等于零