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第一章 行列式习题课,.排列的逆序数,2. 对换对排列的影响,3. n阶行列式的定义,4. n阶行列式的性质,）关于代数余子式的重要性质,5. 行列式按行（列）展开,1 ) 余子式与代数余子式,6. 克拉默法则(注意前提与结论）,由此可得（对方程个数与未知数个数相同的方程组来说）,（1）若非齐次线性方程组无解或多解，则其系数行列式必为零。,（2）若齐次线性方程组有非零解，则其系 数行列式必为零。,一、填空题,1、当i= ，j= 时，19的排列1i25j4897为奇排列； 2、在所有的n阶排列中奇排列的个数为 ； 3、四阶行列式中，含有a11a23的项为 ； 4、如果行列式D中的零元素的个数大于n2-n个，则D= ； 5、若行列式每行元素之和为零，则D= ；,7、n为奇数时,= ；,= ；,8.已知四阶行列式D的第二列元素为-1,2,0,1， 它们对应的余子式分别为5,3,-7,4,则D= 。,9、已知四阶行列式,Mij是元素aij的余子式，则 M41-M42+M43+M44= .,二、计算行列式（除掌握概念与性质外还有技巧）,方法一：三角形法,例1,解：原式=,另解：原式=,方法二：拆项法。看例1,解：原式=,方法三：升级法。看例1,解：原式=,例2 计算,解：构造,（这是一个范德蒙行列式）,=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a),另外f(x)按最后一列展开，可得,上两式是恒等式，故同次幂系数相等。,而D=-A45，故,D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a),方法四：降级法。（行列式中某一行（列）只有一、二个非零元素）,例3 证明,证法一：按最后一行展开,=右边,证法二：按第一列展开，得,Dn=xDn-1+an,再根据上面的递推公式可得结果。,按第一列展开即可得结果。,证法四：从第一列开始，前一列乘1/x加到后一列上去，化成下三角行列式,方法五 递推法,如例1的第二种解法；例3的第二种解法,方法六 用数学归纳法,如范德蒙行列式,练习,1、 计算,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,2、 计算,解,提取第一列的公因子，得,第一章 测试题,一、填空题,7已知五阶行列式,现对D依次作下列变换：交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用 （-3）乘第二列加到第四列，最后用4除第二列各元素，则所得的新的行列式= 。,8设多项
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