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线性微分方程解的结构,第六节,二、二阶线性微分方程解的性质,三、二阶线性微分方程解的结构,第十二章,二、二阶线性微分方程解的性质,二阶线性微分方程解的性质,证,性质2,性质3,性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理),注 性质1 性质4可推广到n阶线性微分方程的情形.,例2,的解，,解,问题1,三、二阶线性微分方程解的结构,回顾：,问题2,答:,不一定.,的解，,例如：,是某二阶齐次线性方程的解,也是齐次线性方程的解,并不是通解.,但是,则,为解决通解的判别问题, 还需引入,函数的线性相关与线性无关概念.,定义12.1,是定义在,区间 I 上的n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为,线性无关.,若存在不全为 0 的常数,例3,下列各函数组在给定区间上是线性相关 还是线性无关？,线性无关,解,故该函数组在任何区间 I 上都线性相关;,解,特别地,对于两个函数的情形：,定理,例如：,注,可以证明：,1.齐次线性微分方程解的结构,推论,n个线性无关的特解，则此方程的通解为,方程：,如果 y1(x) 与 y2(x) 是方程(6.1)的两个线性无关的,特解, 那么 就是方程(6.1)的通解.,验证：,例5,定理12.2 (二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构),2. 非齐次线性微分方程解的结构,证 由性质3, 可知,是非齐次线性方程(6.2)的解,又Y 中含有,两个独立任意常数，因而,也含有两个独立任意常数，因而它是(6.2)的通解 .,例6,例7,解,(1),由性质3，知,(2),齐次线性方程(2)的通解为：,由定理12.2，知,原方程(1)的通解为：,求二阶非齐次线性微分方程(6.2) 的通解 的关键：,注,1确定与其相对应的二阶齐次线性方程 (6.1) 的两个线性无关的解;,2求(6.2) 的一个特解.,内容小结,解的叠加原理,函数组线性相关与线性无关,1、二阶线性
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