若fx与hx有界且可积.ppt

0-3 卷积 convolution 二、定义,若f(x)与h(x)有界且可积, 定义,*: 卷积符号,g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x- x).需要对任何可能的x求和.,g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.,二维函数的卷积:,0-3 卷积 convolution 三、计算方法-几何作图法,练习: 计算rect(x)*rect(x),1.用哑元t画出 二个 rect(t),2.将rect(t)折叠后不变;,3.将一个rect(-t)移位至给定的x, rect-(t -x)= rect(t - x);,4.二者相乘;乘积曲线下面积的值 即为g(x).,|x| 1; g(x) = 0 -1 x 0; g(x) = 1x+1/2-(-1/2)=1+x 0 x 1; g(x) = 11/2-( x-1/2)= 1- x,卷积通常具有(1)加宽 (2)平滑 的作用,0-3 卷积 convolution 四、性质,1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x) * f (x),推论:卷积是线性运算 Linearity av(x) + bw(x)*h(x) = av(x)*h (x) + bw(x)* f (x),2. 卷积满足分配律 Distributive Property v(x) + w(x)*h(x) = v(x)*h (x) + w(x)*f (x),3.卷积满足结合律 Associative Property v(x)*w(x)*h(x) = v(x)*h(x)*w(x)= v(x)* w(x)*h(x),0-3 卷积 convolution 四、性质 (续),4. 卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x) * h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0),5. 卷积的缩放性质 Scaling 若 f(x) * h(x) = g(x), 则,0-3 卷积 convolution 五、包含脉冲函数的卷积,即任意函数与d(x) 卷积后不变,根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:,任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置.,f(x)*d(x - x0) = f (x - x0),f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.,=,*,利用卷积的位移不变性可得:,练习,0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N. 0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？,练习: 0-10 (透过率 = 输出/输入),*,=,t (x, y),d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ,=,*,p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1,d (x+d/2 - d (x-d/2),若右边园孔上加p 位相板, 则,利用卷积性质求卷积的例子 练习0-11 ：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x),若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质 利用d函数的卷积性质 利用卷积的平移性质,*,=,？,练习 0-12,若f(x) * h(x) = g(x), 证明 (1) f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) (2) h(x) * f(x) = g(x) (3),0-4 相关 correlation 信息处理中的重要运算 一、互相关 cross correlation,考虑两个复函数f(x)与g(x), 定义：,作变量替换x+x =x , 则,(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.,互相关是两个函数间存在相似性的量度.,0-4 相关 correlation 一、互相关 cross correlation(续) 与卷积的关系,由(2)式易见：,1. 当且仅当f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的, 相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭 运算时f(x) 不需折叠,由(3)式直接推论得:,2. 互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.,0-4 相关 correlation 二、自相关 auto-correlation,或:,复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数,当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为,0-4 相关 correlation 二、自相关 auto-correlation 重要性质,由(3)式:,若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相关就是自卷积,对于非零复函数f(x),rff (0)0 为实值 |rff (x)| rff (0),证明: 利用施瓦兹不等式 （阅读：吕乃光傅里叶光学 P14-15）,作业,0-13. 证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即： rff(x，y) = rff(-x，-y) 0-14. 已知函数 f(x) = rect (x+2) + rect (x-2) 求函数f(x) 的自相关，并画出图形。,第一章 二维线性系统分析 Analysis of 2-Dimensional Linear System 1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为三角傅里叶级数:,展开系数,零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开,三角傅里叶展开的例子,周期为t =1的方波函数,三角傅里叶展开的例子,练习 0-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数,1-2 二维傅里叶变换 指数傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为指数傅里叶级数:,展开系数,零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念,指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。,1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换,函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:,n级谐波频率:n/t 相邻频率间隔: 1/t,1-2 二维傅里叶变换 2