混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价

混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价 余征， 闫理坦 （东华大学 理学院，上海201620） 摘要： 基于混合分数布朗运动为金融市场驱动模型的情况下，给出了完备的混合型Black-Scholes市场下欧式看 涨期权的定价公式。 关键词： 混合型分数布朗运动；拟条件期望；期权 中图分类号：O211.6（） ：60G15；60H05 文献标识码：文章编号：（8）447 假设（，F，）为一给定的完备概率空间，从回顾分数布朗运动的定义开始讨论。 设0 3 4 且0 时这种混合分数布朗运动Z等价于Wt。 此外，Bender等人3已经证明：这个过程在正则策略集中是无套利 的，并说明欧式期权均存在这样一个正则策略集将其进行套期保值4，因此，市场在此策略集下是完全的。 这 也使得混合型分数布朗运动为驱动的金融市场更加具有实际意义。 关于混合分数布朗运动的进一步问题及 性质见文献5。 文中主要考虑由混合分数布朗运动（1） 驱动的随机微分方程 dX（t）=X（t）dt+X（t）dBH（t）+X（t）dW（t）（2） 其中积分 t 0 乙 X（s）dBH（s）为Wich-Ito 赞型随机积分，其定义及其性质见文献3、6、7。 易证明方程（2）存在唯一 强解，并且其解可以写成 收稿日期 80612 基金项目国家自然科学基金资助项目（10571025）；教育部重点项目资助课题（106076） 作者简介余征（84），女，江西鹰潭人，硕士研究生，研究方向：随机分析及其应用。 第5卷第4期苏 州 科 技 学 院 学 报 （自 然 科 学 版）5 4 8年12月 （ ）Dec 8 第4期 X（t）=X（0）expBH（t）+W（t）+t- 1 2 2t2H- 1 2 2 22 t（3） 1几个与拟条件期望有关的结论 为对混合型分数布朗运动驱动的金融市场进行定价，首先建立几个简单的结论。 定理1对于每个00（13） 其中，均是不为0的常数，0tT。 由文献3，可知此市场在正则策略集中不存在套利，且为完备市场。 这给研究带来方便。 先给出混合分 数风险中性定价公式。 定理4任意有界FT H 可测的未定权益GL2（），在任意时刻t0，T的价格为 G（t）=e -r（T-t）E 軒tG （14） 余征等：混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价7 8年苏州科技学院学报（自然科学版） 证明因为市场是完备的，所以存在一可复制策略（m（t），s（t），其价值为G（t）=m（t）M（t）+s（t）S（t）。 且 有G（t）=G，因此有 dG（t）=m（t）dM（t）+s（t）dS（t）=rG（t）+s（t）S（t）（dBH（t）+dW（t） 将上式两边同乘以e -rt 并积分可以得到 e -rt G（t）=G（0）+ t 0 乙 e -r s（）S（）（dBH（）+dW（）（15） 据此，由分数Clark-Ocone定理3，6可得 e -rt G（t）=e -rt EG+e -rt t 0 乙 E乙DG（dBH（）+dW（）（16） 比较（15）和（16）两式，可以看出E 軒DG=er（T-）s（）S（）。 从而有 e -rT G=e -rT EG+ T 0 乙 e -r s（）S（）（dBH（）+dW（）（17） 故获得 E 軒te-rTG=e-rTEG+E軒t T 0 乙 e -r s（）S（）（dBH（）+dW（）= e -rT EG+ t 0 乙 e -rt s（）S（）（dBH（）+dW（）（18） 则由（15）和（18）两式可以推出G（t）=e -r（T-t）E 軒tG。 命题得证。 现给出混合型分数Black-Scholes公式。 定理5（设r（t）=r，（t）=为常数），则一敲定价格为K，到期日为T的欧式看涨期权在任意时刻t 0，T的价格为 C（t，S（t）=S（t）N（d1）-Ke -r（T-t）N（d 2） （19） 其中 d1= ln（ S（t） K ）+r（T-t）+ 2 2 （T2H-t2H）+ 2 2 （T-t） 2（T2H-t2H）+2（T-t）姨 d2= ln（ S（t） K ）+r（T-t）- 2 2 （T2H-t2H）- 2 2 （T-t） 2（T2H-t2H）+2（T-t）姨 证明有 C（t，S（t）=E 軒te-r（T-t）max（S（T）-K，0）=E軒te-r（T-t）S（T）S（T）K-Ke-r（T-t）E軒tS（T）K= e -r（T-t）E 軒tS（T）S（T）K-Ke-r（T-t）E軒tS（T）K 8 第4期 定义d2 * =ln（K S ）-T+ 2 2 T2H+ 2 2 T，则 E 軒tS（T）K=E軒t xd2 *（BT H +WT）= d2 * 乙 1 2（2（T2H-t2H）+2（T-t）姨 e - x-（BH（t）+W（t） 2 22（T2H-t2H）+2（T-t） dx= d2 *-（B H（t）+W（t） 2（T2H-t2H）+2（T-t） 姨 乙 1 2姨 e -z 2 2 dz= （BH（t）+W（t）-d2 * 2（T2H-t2H）+2（T-t） 姨 - 乙 1 2姨 e -z 2 2 dz=N（d2）（20） 考虑过程 BH*（t）+W*（t）=（BH（t）-t2H）+（W（t）-t）（21） 并且记 Z（t）=exp（BH（t）+W（t）- 1 2 2t2H- 1 2 2t）（22） 则定理3给出 E 軒tST S（T）K（BH（T）+W（T）=e rT E 軒tZ（T） xd2 *（BH（T）+W（T）=e rT Z（t）E 軒t*S（T）K（BH*（T）+W*（T） 注意 ln（S（T）=lnS+T- 2 2 T2H- 2 2 T+（BH（T）+W（T）= lnS+T+ 2 2 T2H+ 2 2 T+（BH*（T）+W*（T）（23） 则可记 d1 * =ln（K S ）-T- 2 2 T2H- 2 2 T E 軒t*S（T）K（BH*（T）+W*（T）=E軒t* xd1 *（BH*（T）+W*（T）= d1 * 乙 1 2（2（T2H-t2H）+2（T-t）姨 e - x-（BH * （t）+W *（t）2 22（T2H-t2H）+2（T-t） dx= d1 *-（B H * （t）+W *（t） 2（T2H-t2H）+2（T-t） 姨 乙 1 2姨 e -z 2 2 dz= （BH*（t）+W*（t）-d1 * 2（T2H-t2H）+2（T-t） 姨 - 乙 1 2姨 e -z 2 2 dz=N（d1）（24） 于是获得 E 軒tS（T） S（T）K（BH（T）+W（T）=e rT Z（t）N（d1）=e rT e -rt S（t）N（d1）=e r（T-t）S（t）N（d 2） （25） 则上述定价公式得证。 参考文献： 1 Biagini F，Hu Y，Ksendal B，et al. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motions and ApplicationsM. Berlin：Springer-Verlag，2008. 2 Cheridito P. Regularizing Fractional Brownian Motion with a Miew towards Stock Price ModelingM. Zurich：Dissertation in Zurich University， 2002. 余征等：混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价9 8年苏州科技学院学报（自然科学版） 3 Bender C，Sottine T，Valkeila E. Arbitrage with fractional Brownian motionJ. Theory of Stochastic Processes，2006，12（3）：1-12. 4 Bender C，Sottine T，Valkeila E. Pricing by hedging and absence of regular arbitrage beyond semimartingalesJ. Finance and Stochastics，2008， 12（4）：441-468. 5 Cheridito P. Mixed fractional Brownian motionJ. Bernoulli，2001，7：913-934. 6 Mishura Y. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motions and Related ProcessesM. Berlin：Springer，2008：1929. 7 Nualart D. Malliavin Calculus and Related TopicsM. 2ndedn. Berlin：Springer-Verlag，2006. 8 Hu Y，Oksendal B. Fractional white noise calculus and applications to financeJ. Infin Dimens Anal Quantum Probab，2003，6：1-32. European Call Option Pricing under a Mixed Fractional Brownian Motion Environment YU Zheng，YAN Li-tan （School of Science，Donghua University，Shanghai 201620，China） Abstract: The purpose of this paper is to obtain a mixed fractional Black-Scholes formula for the price of a European call option and a risk-neutral evaluation theorem on condition that the underlying is driven by the mixed fractional Brownian motion. Key words: mixed fractional Brownian motion；quasi-conditional expectation；option 责任编辑：蔡熹芸 （上接第3页） 4 Sullivan D. Itration des fonctions analytiques complexesJ. C R Acad Sci Paris（srie），1982，294：301-303. 5 Douady A，Hubbard J H. Itration des polynomes quadratiques complexesJ. C R Acad Sci Paris（srie），1982，294：123-126. 6 Hinkkanen A，Martin G J. The dynamics of semigroups of rational functionsJ. Proc London Math Soc，1996，73：358-384. 7 Hinkkanen A，Martin G J. Julia sets of rational semigroupsJ. Math Z，1996，222（2）：161-169. 8 Sumi H. On dynamics of hyperbolic rational semigroupsJ. J Math Kyoto Univ，1998，37（4）：717-733. 9 Huang zhigang. The dynamic