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文档简介

,7.5 隐函数的求导公式,7.5.1 一个方程的情形,7.5.2 方程组的情形,隐函数的求导公式,7.5.1 一个方程的情形,(隐函数存在定理1),设函数,在点,的某一邻域内具有连续的偏导数，,且,则方程,在点,的某一邻域内恒能唯一确定一个,单值连续且具有连续导数的函数,它满,足条件,并有,定理7.6,这个定理我们不证，仅对求导公式作推导.,等式两边对,求导，即得,由于,连续，,且,所以存在,的一个邻域，,在这个邻域内,于是得,的二阶偏导数也都连续，可得二阶导数.,例1 验证方程F(x，y) = xy ex + ey = 0在点P0(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数y = y(x)，并求其函数,解,则,依定理知,方程xyex + ey = 0在点P0(0,0)的某一邻域,内能唯一确定一个有连续导数的隐函数y = y(x)，,其导数为,(隐函数存在定理2),设函数,在点,的某一邻域内有连续的偏导数，,且,则方程,在点,的某一邻域内恒,能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函,数,它满足条件,并有,定理7.6,这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.,等式两边对,求导，即得,由于,由于,连续，,且,所以存在,的一个邻域，,在这个邻域内,于是得,设x2+2y2+3z2+xy-z=0,求,例2,解,法一 设,F(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy-z，则,得,法二,求隐函数的一阶偏导数,可直接对方程两端求导.,方程两端对x求偏导数,得,可利用全微分的形式不变性求偏导数.,法三,类似可得,方程两端求全微分,例3 设,具有连续偏导数，证明由方程,证,解出,类似地，有,设函数z=(x, y)由方程ezxyz=0所确定,求,例4,所给的方程两端对y求偏导数,得,解,即,对y再求一次偏导数,有,将,7.5.2 方程组的情形,(隐函数存在定理3),设,在点,的某一邻域内有对各,个变量的连续偏导数，,且,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可,定理7.8,比式),在点,不等于零，,则方程组,在点,的某一邻域内恒能唯,一确定一组单值连续且具有连续偏导数的,函数,它们满足条件,并有,这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.,等式两边对,求导，即得,由于,系数行列式,从而得,同理可得,例5,解,将所给方程的两边对 求导并移项,将所给方程的两边对 求导，用同样方法得,的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数,例6,一邻域内连续且有连续偏导数，又,(1) 证明方程组,(2),例6 解,(1) 将方程组改写成下面的形式,则按假设,由隐函数存在定理3，即得所要证的结论.,(2) 将方程组所确定的反函数,同理,例7 设,解 前两个方程两边对 x 求导，得,解得,同理得,练习1,练习3,练习
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