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第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,- 被积表达式,面积元素,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,性质,性质,对区域,具有可加性,性质,为D的面积，,性质,若在D上,则有,性质,（二重积分,估值不等式）,性质,（二重积分,中值定理）,解,解,解,解: 表示以原点O为圆心, 半径为R的上半球面.,上半球体的体积,【练习】,被积函数相同, 且非负,【解】,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),【提示】因 0 y 1, 故,故在D上有,【例6】设函数,D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上,当区域关于y 轴对称, 函数关于变量x 有,在闭区域D上连续,D关于x 轴对称,则,则,奇偶性时,仍有类似结果.,在第一象限部分, 则有,【说明】将该结论熟记，对以后计算带来很大方便.（要兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性）,【例如】,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关 不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函 数为定义在区间上的一元函数; 二重积
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